אילו שאלות מבחנים יש מהאוניברסיטה הפתוחה באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה (אופ) באנליזה פונקציונלית. ניתן לסנן לפי נושא ורמת קושי ולתרגל ממוקד לפני הבחינה.

איפה למצוא שאלות באנליזה פונקציונלית האוניברסיטה הפתוחה?

שאלות באנליזה פונקציונלית האוניברסיטה הפתוחה (אופ) עם פתרונות זמינות באתר prepd - מאגר של 80 שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, ממוינות לפי נושא ורמת קושי. ניתן לתרגל באתר ישירות, ללא צורך בהורדה.

כיצד ניתן להתכונן למבחן באנליזה פונקציונלית באוניברסיטה הפתוחה?

הדרך היעילה להתכונן למבחן באנליזה פונקציונלית באוניברסיטה הפתוחה היא לתרגל שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. באתר prepd ניתן לסנן שאלות לפי נושא ורמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה - הכנה שמדמה את תנאי הבחינה האמיתית.

האם יש פתרונות לשאלות מבחנים של האוניברסיטה הפתוחה באנליזה פונקציונלית?

השאלות באנליזה פונקציונלית מהאוניברסיטה הפתוחה באתר prepd מגיעות עם תשובות לבדיקה עצמית ופתרונות לחלק מהשאלות. כך ניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון הנכונה לפני הבחינה.

אנליזה פונקציונלית האוניברסיטה הפתוחה

Q: האם יש מבחנים באנליזה פונקציונלית באוניברסיטה הפתוחה משנים אחרונות?

המאגר ב-prepd כולל שאלות ממבחני אנליזה פונקציונלית באוניברסיטה הפתוחה ממועדים לאורך השנים - כולל מבחנים מ-2023, 2024, 2025 ו-2026. ניתן לסנן את השאלות לפי נושא ורמת קושי ולהתמקד בנושאים החוזרים בכל מועד.

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהי

A \in L (H)

אופרטור נורמלי. הראו כי

∥ A^{2} ∥ = ∥ A ∥^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימרחב בנךספרביליותאופרטורים חסומיםאופרטור נורמלינורמת אופרטורמרחב הילברטהוכחה

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצאו את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראו כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריאופרטורים קומפקטייםערכים עצמייםספקטרוםנורמת אופרטורהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

לכל

f \in L^{1} [- π, π]

ולכל

n \in Z

נגדיר

α_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x

ונסמן

a = (α_{0}, α_{1}, α_{- 1}, \dots, α_{n}, α_{- n}, \dots)

.

(א) הוכיחו כי

a \in c_{0}

.

(ב) נגדיר

F : L^{1} [- π, π] \to c_{0}

על-ידי

F (f) = a

.

הוכיחו כי

F

אופרטור לינארי חסום ומצאו את

∥ F ∥

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחבי לפהתכנסותאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורפונקציונל לינאריסדרות

(א) תהי

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב בנך

B

ותהי

{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}

קבוצת סקלרים שרירותית.

הוכיחו כי קיים

f \in B^{*}

כזה ש-

f (x_{k}) = c_{k}

לכל

k = 1, \dots, n

.

(ב) יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

.

נגדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב הילברטהוכחה

א. הראו שאם

S, T \in L (H)

אופרטורים צמודים לעצמם ו-

0 \leq S

אז

0 \leq T S T

.

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל

0 < ε

קיים

δ > 0

כך שלכל

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

שמקיימים

∥ x - y ∥ \geq ε

מתקיים

\frac{1}{2} (x + y) \leq 1 - δ

.
הוכיחו כי

X

קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות לכל

n

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

ו-

\frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}) \to 1

נובע

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטימרחב הילברטמרחב נורמיהוכחהקבוצות קמורותאופרטורים חסומים

יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

C [0, 1]

המורכב מכל הפונקציות

f \in C [0, 1]

עבורן קיים וסופי

lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}

. נגדיר

A : M \to C [0, 1]

על-ידי:

A f (t) = {\frac{f ( t )}{t} lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}, t \neq = 0, t = 0

א. הוכיחו כי

A

אופרטור סגור.

ב. נגדיר את הקבוצות הבאות של וקטורים במרחב

ℓ^{\infty}

U_{1}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שונים מ-

0

;

U_{2}

היא קבוצת של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שווים ל-

0

;

U_{3}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן סכום האיברים שווה ל-

0

(כסכום טור אינסופי).
לגבי כל אחת מהקבוצות האלה קבעו אם היא מהווה תת-מרחב סגור של

ℓ^{\infty}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]מרחב בנךרציפותסדרותהוכחה

א. יהי

K

אופרטור קומפקטי במרחב בנך

B

ונניח ש-

I - K

חד-חד-ערכי.
הוכיחו כי אם

S \subseteq B

והקבוצה

{(I - K) x : x \in S}

חסומה אז

S

חסומה.

ב. בהינתן מרחב הילברט

H

, נסמן ב-

ℓ^{2} (H)

את המרחב הווקטורי של כל הסדרות

{x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

עם

x_{k} \in H

המקיימות

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{k} ∥^{2} < \infty

. לכל שני ווקטורים

x, y \in ℓ^{2} (H)

נגדיר:

⟨ x, y ⟩ = k = 1 \sum \infty ⟨ x_{k}, y_{k} ⟩

כאשר

x = {x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

y = {y_{k}}_{k = 1}^{\infty}

.

בדקו כי ביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

ℓ^{2} (H)

והוכיחו כי

ℓ^{2} (H)

המצויד במכפלה זו הוא מרחב הילברט.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטמרחב מכפלה פנימיתחסימותהוכחהמרחבי לפמרחב בנךסדרות

(א) הראו כי שני וקטורים

x, y

במרחב מכפלה פנימית מרוכב אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

מתקיים לכל

α \in C

.

(ב) יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא נתון ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו).

הוכיחו כי אם

σ (A) \neq = C

(כלומר, קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

), אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אורתוגונליותמרחב מכפלה פנימיתאופרטורים לינארייםספקטרוםהוכחה

יהי

K

אופרטור לינארי קומפקטי צמוד לעצמו במרחב הילברט

H

.

במרחב

H \oplus H

נגדיר את האופרטור

A = (0 K K 0)

.

(א) הוכיחו כי

A

קומפקטי וצמוד לעצמו.

(ב) הוכיחו כי

∥ A ∥ = ∥ K ∥

.

(ג) בטאו את הערכים העצמיים ואת הווקטורים העצמיים של

A

על-ידי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של

K

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2022 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםמרחב הילברטאופרטור צמודנורמת אופרטור

(א) אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור לינארי חסום

A

מוגדרים במרחב בנך

B

.

כמו כן, נניח ש-

A

חד-חד-ערכי ומעתיק את

B

על עצמו.

הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

(ב) האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםספקטרוםקבוצות פתוחות וסגורותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינארימרחבי לפהוכחה

שאלות אנליזה פונקציונלית באוניברסיטה הפתוחה עם פתרונות

מאגר מבחנים באנליזה פונקציונלית מהאוניברסיטה הפתוחה (אופ) - 80 שאלות ממוינות לפי נושא ורמת קושי, עם פתרונות מלאים לבדיקה עצמית. השאלות מכסות מועדים לאורך השנים, כולל מבחנים מ-2023, 2024, 2025 ו-2026. נושאים מרכזיים: מרחב מטרי, מרחב נורמי, מרחב מכפלה פנימית, אופרטורים לינאריים, ספקטרום. ניתן לסנן שאלות חוזרות, להתאמן על נושא ספציפי או להריץ סימולציית מבחן לפני הבחינה. הכנה לאנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי בנך והילברט, אופרטורים לינאריים ומשפטי היסוד. תרגול שאלות ממבחנים — עם דגש על הוכחות ודוגמאות נגדיות — הוא הדרך הכי יעילה לגלות פערים.