איך לתרגל שאלות השלמה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות השלמה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות השלמה אורתוגונלית יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות השלמה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על השלמה אורתוגונלית לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

השלמה אורתוגונלית הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא השלמה אורתוגונלית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - השלמה אורתוגונלית

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מכפלה פנימית

רמת קושי:

(א) אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור לינארי חסום

A

מוגדרים במרחב בנך

B

.

כמו כן, נניח ש-

A

חד-חד-ערכי ומעתיק את

B

על עצמו.

הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

(ב) האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםספקטרוםקבוצות פתוחות וסגורותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינארימרחבי לפהוכחה

א. גדיר

U = {(ξ_{n}) \in ℓ_{2} : \sum_{n = 1}^{\infty} n ∣ ξ_{n} ∣^{2} < \infty}

.

בדקו כי

U

תת-מרחב לא סגור של

ℓ_{2}

ומצאו את

U^{⊥}

.

ב. יהיו

A, B \in L (H)

ויהי

λ

קודה רגולרית עבור

A

וגם עבור

B

.
הוכיחו כי

R_{λ} (A) - R_{λ} (B) = R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B)

.

תזכורת:

R_{λ} (A) = (λ I - A)^{- 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטהשלמה אורתוגונליתספקטרוםאופרטורים חסומיםמרחבי לפ

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t ^{3/4}} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור ליארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא תון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכיחו כי אם

σ (A) \cap C = \emptyset

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותקבוצות פתוחות וסגורותמרחבי לפהשלמה אורתוגונלית

א. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ויחי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכיחו כי

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

אם ורק אם

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדקו כי

C (R)

מהווה מרחב בנך, והראו כי אופרטור ליניארי

T

במרחב זה המוגדר על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

לקבוע

x_{0} \in R

מהווה אופרטור אוניטרי במרחב זה. הראו כי

T

אופרטור ליניארי אוניטרי בתת-מרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטריאופרטור צמודהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחב בנךמרחב C[a,b]אופרטורים חסומיםהוכחה

א. במרחב

L^{2} [- π, π]

גדיר אופרטור

K

על-ידי:

(K f) (t) = \int_{- π}^{π} cos (t - s) f (s) d s

בדקו כי

K

צמוד לעצמו, קומפקטי ובעל דרגה סופית. האם

K

חיובי?
מצאו את ההצגה הספקטרלית של

K

.

ב. יהי

L

תת-מרחב של מרחב הילברט

H

.
הוכיחו כי

\overline{L} = H

אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם

y \in L^{⊥}

אז

y = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיספקטרוםערכים עצמייםמשפט הספקטרליאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחבי לפ

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שים לב: לא נתון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכח כי אם

σ (A) \neq = C

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותמרחבי לפקבוצות פתוחות וסגורות

א. תהי

S

קבוצה אורתונורמלית שאינה בת-מנייה במרחב הילברט

H

ויהי

v \in H

. הראה כי לכל

ε > 0

הקבוצה

{u \in S : ∣ ⟨ v, u ⟩ ∣ \geq ε}

היא סופית והסק מכך שהקבוצה

{u \in S : ⟨ v, u ⟩ \neq = 0}

היא בת-מנייה.

ב. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ונניח כי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכח כי

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

אם ורק אם

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתאופרטור צמודאופרטורים לינארייםהוכחה

א. הוכח כי אם

A \in L (H_{1}, H_{2})

מקיים

dim ((Ker A)^{⊥}) = d < \infty

, אז

A

הוא בעל דרגה סופית, ו-

rank A \leq d

.

ב. הוכח כי אם במרחב נורמי

V

קיימים וקטורים בלתי תלויים לינארית

x, y

כך ש-

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

, אז הקבוצה

S = {x \in V : ∥ x ∥ = 1}

(פני כדור היחידה) מכילה קטע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםהשלמה אורתוגונליתהוכחהמרחב נורמינורמהקבוצות קמורות

שאלות השלמה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא השלמה אורתוגונלית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא השלמה אורתוגונלית.