איך לתרגל שאלות הטלה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות הטלה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות הטלה אורתוגונלית יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות הטלה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על הטלה אורתוגונלית לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

הטלה אורתוגונלית הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא הטלה אורתוגונלית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - הטלה אורתוגונלית

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מכפלה פנימית

רמת קושי:

(א) תהי

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב בנך

B

ותהי

{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}

קבוצת סקלרים שרירותית.

הוכיחו כי קיים

f \in B^{*}

כזה ש-

f (x_{k}) = c_{k}

לכל

k = 1, \dots, n

.

(ב) יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

.

נגדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב הילברטהוכחה

א. תהי

P

הטלה אורתוגונלית על תת-מרחב סגור

M

של מרחב הילברט

H

, כאשר

M \neq = {0}

M \neq = H

.
מצאו את כל הערכים של מספרים מרוכבים

α, β

עבורם

α P + β I

הטלה אורתוגונלית (כאשר

I

הוא, כמובן, אופרטור הזהות ב-

H

).

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם מכך ש-

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

\frac{x _{n} + y _{n}}{2} \to 1

נובע ש-

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

.
הראו כי כל מרחב הילברט קמור במידה שווה,
ותנו דוגמה של מרחב נורמי דו-ממדי שאינו קמור במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתמרחב הילברטנורמהמרחב מכפלה פנימיתדוגמה נגדיתהוכחה

א. יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

B

. נסמן

A = {f \in B^{*} : M \subseteq Ker f}

.
הוכיחו ש-

\overline{M} = ⋂_{f \in A} Ker f

.

ב. יהיו

A_{j k} \in L (H)

כאשר

j, k = 1, 2

.
נגדיר

K : H \oplus H \to H \oplus H

על-ידי

K = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})

.
הוכיחו כי

K

קומפקטי אם ורק אם

A_{j k}

קומפקטיים לכל

j, k = 1, 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךאופרטורים קומפקטייםהטלה אורתוגונליתהוכחה

א. תהי

S

קבוצה אורתונורמלית שאינה בת-מנייה במרחב הילברט

H

ויהי

v \in H

. הראה כי לכל

ε > 0

הקבוצה

{u \in S : ∣ ⟨ v, u ⟩ ∣ \geq ε}

היא סופית והסק מכך שהקבוצה

{u \in S : ⟨ v, u ⟩ \neq = 0}

היא בת-מנייה.

ב. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ונניח כי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכח כי

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

אם ורק אם

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותבסיס אורתונורמליהטלה אורתוגונליתאופרטור הרמיטיחסימות

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

. גדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב דואלימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךמרחב הילברטהתכנסות

א. יהיו

A_{j k} \in L (H)

לכל

j, k = 1, 2

.

נגדיר

K : H \oplus H \to H \oplus H

על-ידי

K = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})

.

הוכח כי

K

קומפקטי אם ורק אם

A_{j k}

קומפקטיים לכל

j, k = 1, 2

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.

בדוק ש-

C (R)

הוא מרחב בנך. נקבע

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.

הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךנורמת אופרטורהוכחהמרחב C[a,b]

א. במרחב

L^{2} [- π, π]

גדיר אופרטור

K

על-ידי:

(K f) (t) = \int_{- π}^{π} cos (t - s) f (s) d s

בדקו כי

K

צמוד לעצמו, קומפקטי ובעל דרגה סופית. האם

K

חיובי?
מצאו את ההצגה הספקטרלית של

K

.

ב. יהי

L

תת-מרחב של מרחב הילברט

H

.
הוכיחו כי

\overline{L} = H

אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם

y \in L^{⊥}

אז

y = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטורים לינארייםאופרטור הרמיטיספקטרוםערכים עצמייםמשפט הספקטרליאופרטורים קומפקטייםאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתהטלה אורתוגונלית

שאלות הטלה אורתוגונלית באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא הטלה אורתוגונלית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא הטלה אורתוגונלית.