איך לתרגל שאלות אורתוגונליות באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות אורתוגונליות באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אורתוגונליות יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות אורתוגונליות באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אורתוגונליות לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

אורתוגונליות הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אורתוגונליות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - אורתוגונליות

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מכפלה פנימית

רמת קושי:

(א) הראו כי שני וקטורים

x, y

במרחב מכפלה פנימית מרוכב אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

מתקיים לכל

α \in C

.

(ב) יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא נתון ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו).

הוכיחו כי אם

σ (A) \neq = C

(כלומר, קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

), אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אורתוגונליותמרחב מכפלה פנימיתאופרטורים לינארייםספקטרוםהוכחה

תהי

{φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מערכת אורתונורמלית במרחב

L^{2} [0, 1]

.

א. הוכיחו כי לכל

x \in [0, 1]

מתקיים:

n = 1 \sum \infty \int_{0}^{x} φ_{n} (t) d t^{2} \leq x

ב. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
(i) מרחב

L_{\infty} [a, b]

ספרביל.
(ii) קבוצה של כל הפונקציות הרציפות ב-

[a, b]

צפופה במרחב

L_{\infty} [a, b]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד ב | 2019 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

בסיס אורתונורמלימרחבי לפמרחב C[a,b]אורתוגונליותספרביליותהוכחהדוגמה נגדית

א. תהי

S

קבוצה אורתונורמלית שאינה בת-מנייה במרחב הילברט

H

ויהי

v \in H

. הראה כי לכל

ε > 0

הקבוצה

{u \in S : ∣ ⟨ v, u ⟩ ∣ \geq ε}

היא סופית והסק מכך שהקבוצה

{u \in S : ⟨ v, u ⟩ \neq = 0}

היא בת-מנייה.

ב. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ונניח כי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכח כי

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

אם ורק אם

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותבסיס אורתונורמליהטלה אורתוגונליתאופרטור הרמיטיחסימות

א. יהי

A

אופרטור ליניארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-

A^{2}

קומפקטי וצמוד לעצמו.
הוכיחו כי ל-

A

יש ערך עצמי, ובדקו כי וקטורים עצמיים של

A

השייכים לערכים עצמיים

μ

ו-

λ^{2}

אורתוגוניים זה לזה כאשר

λ^{2} \neq = μ^{2}

.

ב. יהי

B

מרחב בך

B = C [0, 1]

, וקיים

A \in L (B, C [0, 1])

שלכל

u \in B

שלכל

u \in B

יחידה הפוכה

A u

בעלת נגזרת רציפה ב-

[0, 1]

.
הוכיחו כי קיים קבוע

c > 0

כך ש-

(A u)^{'} (x) \leq c ∥ u ∥

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

u \in B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםאורתוגונליותמשפט הגרף הסגוראופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהי

A \in L (H)

אופרטור צמוד לעצמו. הוכיחו כי

λ

קודה רגולרית של

A

אם ורק אם קיים

c > 0

כך ש-

∥ (λ I - A) x ∥ \geq c ∥ x ∥

לכל

x \in H

.

ב. הראו כי הקבוצה

{\frac{2}{π} sin n x}_{n = 1}^{\infty}

מהווה בסיס אורתונורמלי של

L^{2} [0, π]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

ספקטרוםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםבסיס אורתונורמלימרחב הילברטאופרטורים לינארייםמרחבי לפאורתוגונליות

א. תהי

{A_{n}}

סדרת אופרטורים לינאריים חסומים והפיכים במרחב בנך

B

המתכנסת בנורמה לאופרטור

A

. הוכח כי

A

הפיך אם ורק אם

{∥ A_{n}^{- 1} ∥}

סדרה חסומה. בדוק שאם

A

הפיך אז

A_{n}^{- 1} \to A^{- 1}

.

ב. תהי

{φ_{k}}

מערכת אורתונורמלית במרחב הילברט

H

. הוכח כי לכל

x, y \in H

מתקיים:

k \sum ⟨ x, φ_{k} ⟩ ⟨ y, φ_{k} ⟩ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב בנךבסיס אורתונורמלימרחב הילברטאורתוגונליותחסימותהוכחה

א. במרחב

L^{2} [- π, π]

גדיר אופרטור

K

על-ידי:

(K f) (t) = \int_{- π}^{π} cos (t - s) f (s) d s

בדקו כי

K

צמוד לעצמו, קומפקטי ובעל דרגה סופית. האם

K

חיובי?
מצאו את ההצגה הספקטרלית של

K

.

ב. יהי

L

תת-מרחב של מרחב הילברט

H

.
הוכיחו כי

\overline{L} = H

אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם

y \in L^{⊥}

אז

y = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיספקטרוםערכים עצמייםמשפט הספקטרליאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחבי לפ

א. הוכח כי אם

A \in L (H_{1}, H_{2})

מקיים

dim (Ker A) = d < \infty

אז

A

הוא בעל דרגה סופית, ו-

rank A \leq d

.

ב. הוכח כי אם במרחב נורמי

V

קיימים שני וקטורים

x, y

כך ש-

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x - y ∥ = 1

אז הקבוצה

S = {x \in V : ∥ x ∥ = 1}

(פני כדור היחידה) מכילה קטע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםקבוצות קמורותהוכחהנורמה

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שים לב: לא נתון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכח כי אם

σ (A) \neq = C

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותמרחבי לפקבוצות פתוחות וסגורות

א. יהיו

x, y

וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב.

הראה כי

x ⊥ y

אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

לכל

α \in C

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי

(A f) (x) = g (x) f (x)

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.

מצא את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאורתוגונליותספקטרוםערכים עצמייםמרחב C[a,b]אופרטורים לינארייםהוכחה

שאלות אורתוגונליות באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא אורתוגונליות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אורתוגונליות.