איך לתרגל שאלות בסיס אורתונורמלי באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות בסיס אורתונורמלי באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות בסיס אורתונורמלי יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות בסיס אורתונורמלי באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על בסיס אורתונורמלי לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

בסיס אורתונורמלי הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא בסיס אורתונורמלי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - בסיס אורתונורמלי

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מכפלה פנימית

רמת קושי:

א. יהי

T

אופרטור לינארי במרחב נורמי

X

שמקיים את התנאי הבא:
לכל סדרה

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset X

שעבורה הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} ∥ x_{n} ∥

מתכנס, הסדרה

{T x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

חסומה.
הוכיחו כי

T

אופרטור חסום.

ב. הוכיחו כי בכל מרחב הילברט ספרבילי אינסוף ממדי

H

קיימת קבוצת וקטורים

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

כך ש-

∥ x_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

⟨ x_{n}, x ⟩ \to 0

לכל

x \in H

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםבסיס אורתונורמלימרחב הילברטהוכחה

תהי

{φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מערכת אורתונורמלית במרחב

L^{2} [0, 1]

.

א. הוכיחו כי לכל

x \in [0, 1]

מתקיים:

n = 1 \sum \infty \int_{0}^{x} φ_{n} (t) d t^{2} \leq x

ב. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
(i) מרחב

L_{\infty} [a, b]

ספרביל.
(ii) קבוצה של כל הפונקציות הרציפות ב-

[a, b]

צפופה במרחב

L_{\infty} [a, b]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד ב | 2019 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

בסיס אורתונורמלימרחבי לפמרחב C[a,b]אורתוגונליותספרביליותהוכחהדוגמה נגדית

א. תהי

S

קבוצה אורתונורמלית שאינה בת-מנייה במרחב הילברט

H

ויהי

v \in H

. הראה כי לכל

ε > 0

הקבוצה

{u \in S : ∣ ⟨ v, u ⟩ ∣ \geq ε}

היא סופית והסק מכך שהקבוצה

{u \in S : ⟨ v, u ⟩ \neq = 0}

היא בת-מנייה.

ב. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ונניח כי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכח כי

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

אם ורק אם

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותבסיס אורתונורמליהטלה אורתוגונליתאופרטור הרמיטיחסימות

א. יהי

A \in L (H)

אופרטור צמוד לעצמו. הוכיחו כי

λ

קודה רגולרית של

A

אם ורק אם קיים

c > 0

כך ש-

∥ (λ I - A) x ∥ \geq c ∥ x ∥

לכל

x \in H

.

ב. הראו כי הקבוצה

{\frac{2}{π} sin n x}_{n = 1}^{\infty}

מהווה בסיס אורתונורמלי של

L^{2} [0, π]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

ספקטרוםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםבסיס אורתונורמלימרחב הילברטאופרטורים לינארייםמרחבי לפאורתוגונליות

א. תהי

{A_{n}}

סדרת אופרטורים לינאריים חסומים והפיכים במרחב בנך

B

המתכנסת בנורמה לאופרטור

A

. הוכח כי

A

הפיך אם ורק אם

{∥ A_{n}^{- 1} ∥}

סדרה חסומה. בדוק שאם

A

הפיך אז

A_{n}^{- 1} \to A^{- 1}

.

ב. תהי

{φ_{k}}

מערכת אורתונורמלית במרחב הילברט

H

. הוכח כי לכל

x, y \in H

מתקיים:

k \sum ⟨ x, φ_{k} ⟩ ⟨ y, φ_{k} ⟩ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב בנךבסיס אורתונורמלימרחב הילברטאורתוגונליותחסימותהוכחה

א. יהיו

A, B : H \to H

אופרטורים לינאריים חסומים במרחב הילברט (באמירה זו טמונה ההנחה שתחום הגדרתם הוא המרחב כולו).
הוכח או הפרך על-ידי דוגמה נגדית את הטענה הבאה:
אם

A B

אופרטור הפיך אז גם

B A

הפיך.

ב. הוכח כי בכל מרחב הילברט ספרבילי אינסוף ממדי

H

קיימת קבוצת וקטורים

{x_{n}}

כך ש-

∥ x_{n} ∥ = 1

לכל

n

⟨ x_{n}, x ⟩ \to 0

לכל

x \in H

ו-

x_{n} ⇀ 0

(התכנסות חלשה).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםמרחב הילברטבסיס אורתונורמליהתכנסות חלשההוכחהדוגמה נגדית

שאלות בסיס אורתונורמלי באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא בסיס אורתונורמלי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא בסיס אורתונורמלי.