איך לתרגל שאלות אופרטור אוניטרי באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטור אוניטרי באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטור אוניטרי יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטור אוניטרי באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטור אוניטרי לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

אופרטור אוניטרי הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטור אוניטרי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - אופרטור אוניטרי

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים לינאריים

רמת קושי:

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצאו את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראו כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריאופרטורים קומפקטייםערכים עצמייםספקטרוםנורמת אופרטורהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

(א) תהי

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב בנך

B

ותהי

{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}

קבוצת סקלרים שרירותית.

הוכיחו כי קיים

f \in B^{*}

כזה ש-

f (x_{k}) = c_{k}

לכל

k = 1, \dots, n

.

(ב) יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

.

נגדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב הילברטהוכחה

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

. גדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב דואלימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךמרחב הילברטהתכנסות

א. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ויחי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכיחו כי

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

אם ורק אם

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדקו כי

C (R)

מהווה מרחב בנך, והראו כי אופרטור ליניארי

T

במרחב זה המוגדר על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

לקבוע

x_{0} \in R

מהווה אופרטור אוניטרי במרחב זה. הראו כי

T

אופרטור ליניארי אוניטרי בתת-מרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטריאופרטור צמודהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחב בנךמרחב C[a,b]אופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהיו

A_{j k} \in L (H)

לכל

j, k = 1, 2

.

נגדיר

K : H \oplus H \to H \oplus H

על-ידי

K = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})

.

הוכח כי

K

קומפקטי אם ורק אם

A_{j k}

קומפקטיים לכל

j, k = 1, 2

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.

בדוק ש-

C (R)

הוא מרחב בנך. נקבע

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.

הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךנורמת אופרטורהוכחהמרחב C[a,b]

א. יהיו

T, S \in L (H)

כך ש־

S^{*} S \leq T^{*} T

.
הוכח כי אם

T

קומפקטי אז גם

S

קומפקטי.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב־

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדוק ש־

C (R)

הוא מרחב בנך, ונגדיר

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על־ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.
הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב בנךמרחב הילברטמרחב נורמינורמהאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודאופרטור אוניטריהתכנסות במידה שווההוכחה

שאלות אופרטור אוניטרי באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא אופרטור אוניטרי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטור אוניטרי.