איך לתרגל שאלות מטריצה אנטי-סימטרית באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצה אנטי-סימטרית באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מטריצה אנטי-סימטרית יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצה אנטי-סימטרית באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצה אנטי-סימטרית לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

מטריצה אנטי-סימטרית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצה אנטי-סימטרית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - מטריצה אנטי-סימטרית

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מטריצות

רמת קושי:

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{3 \times 3}

אנטי-סימטרית כך ש-

A 111 = a b c

, אזי

a + b + c = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2023 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה אנטי-סימטריתהוכח או הפרך

א. (15 נק') יהי

B = (1 + x + x^{2}, 1 + x, 1)

בסיס של המרחב

R_{3} [x]

, ותהי

T : R_{3} [x] \to R_{3} [x]

העתקה לינארית כך שהמטריצה המייצגת את

T

לפי הבסיס

B

היא:

[T]_{B} = m - 1 n - 2 n - 4 k - 3 6

נתון

Sp ({4 + 3 x + x^{2}, - 1 + x^{2}, 5 + 3 x}) \subseteq ker T

.

1. מצאו את הפרמטרים

m, n, k

.

2. מצאו את המטריצה

[T]_{E}

, המטריצה שמייצגת את ההעתקה

T

לפי הבסיס הסטנדרטי

E = (1, x, x^{2})

.

ב. (10 נק') נתונות מטריצות ריבועיות

A, B

מסדר

n

ונתון שהמטריצה

A

אנטי־סימטרית (כלומר,

A^{t} = - A

). הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה:

אם המטריצה

A B A

אנטיסימטרית והפיכה אז

B

מטריצה אנטיסימטרית ו־

n

זוגי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 89 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

מטריצת ייצוגמעבר בסיסיםהעתקה לינאריתגרעיןפולינומיםבסיסמטריצה אנטי-סימטריתמטריצה משוחלפתדטרמיננטהמטריצה הפיכההוכח או הפרךהוכחה

הוכיחו או הפריכו:

תהי

A \in M_{2021} (R)

כך ש-

A^{t} = - A

. אז

rank (A) < 2021

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א' (קבוצה 2) · 2021 · סמסטר א

★★★★★

דטרמיננטהמטריצה אנטי-סימטריתדרגההוכחה

יהי

V = R^{3 \times 3}

מרחב המטריצות הממשיות מסדר

3 \times 3

מעל

R

, ויהיו נתונים שני תתי המרחבים הבאים של

V

U

- מרחב המטריצות האנטי סימטריות מסדר

3 \times 3

W

- מרחב המטריצות מסדר

3 \times 3

כך שסכום האיברים בכל שורה שווה ל-0. אזי:
א.

V = U \oplus W

.
ב.

V = U + W

אבל הסכום הוא לא ישר.
ג.

dim U + dim W = 10

.
ד.

dim (U \cap W) = 2

.
ה.

dim (U + W) = 8

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןטכניון 2017 חורף מועד א · 2017 · סמסטר א

★★★★★

מרחב וקטוריתת-מרחבמטריצה אנטי-סימטריתסכום ישרסכום מרחביםחיתוךמימדמשפט המימד

יהיו

A

B

שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר כך ש

A

סימטרית ומתקיים

A (B + B^{t}) = (B + B^{t}) A

. אזי גם המטריצה

A B - B A

סמטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןטכניון בוחן אמצע חורף תשע"ו 2016 · 2016 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותמטריצה משוחלפתמטריצה אנטי-סימטריתהוכחה

עבור כל אחת מהטענות הבאות קבעו אם האם היא נכונה או לא נכונה, וסמנו את התשובה במקום המתאים בטבלה (אין צורך לנמק. נימוקים לא ייבדקו):

בשאלה זו,

R_{5} [x]

הוא מרחב הפולינומים ממעלה לכל היותר 5 עם מקדמים ממשיים מעל

R

, ו-

R^{3 \times 3}

הוא מרחב המטריצות הממשיות מסדר

3 \times 3

מעל

R

.

1. אם

p (x), q (x)

הם שני פולינומים עם מקדמים ממשיים ו-

x_{1} \in C

הוא שורש מריבוי

k

של

p (x)

ושל

q (x)

אז

x_{1}

הוא גם שורש מריבוי

k

של

p (x) + q (x)

.

2. אם

A

ו-

B

הן שתי מטריצות ריבועיות, שקולות שורה ו-

A

סימטרית אז גם

B

סימטרית.

3. יהי

V = R_{5} [x]

אז אוסף כל הפולינומים ב-

V

שיש להם לפחות שורש ממשי אחד הוא תת מרחב וקטורי של

V

.

4. יהי

V = R^{3 \times 3}

אז אוסף כל המטריצות ב-

V

המתחלפות בכפל עם המטריצה

B \in V

שכל איבריה שווים ל-

2

הוא תת מרחב וקטורי של

V

.

5. אם

A

מטריצה ממשית כך שלמערכת

A x = b

אין פתרון אז למערכת

A x = 0

יש אינסוף פתרונות.

6. אם

A

ו-

B

מטריצות ממשיות

n \times n

כך ש-

A

סימטרית,

B

אנטי סימטרית ומתחלפות בכפל אז

A B

אנטי סימטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןבוחן אמצע, סמסטר חורף תשע"ה, 3.12.14 · 2015 · סמסטר א

★★★★★

הוכח או הפרךפולינומיםמטריצותתת-מרחבמטריצה אנטי-סימטריתמערכת משוואות

תהיינה

A

B

מטריצות

n \times n

מעל

R

n \geq 2

.

א. הוכח שאם

A B = B A

אז

A^{3} B^{2} = B A^{3} B

.
ב. נניח ש

A

היא מטריצה סימטרית ו

B

היא מטריצה אנטיסימטרית. הוכח ש

A B

היא מטריצה אנטיסימטרית אם ורק אם

(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2} + 2 A B

.
ג. הוכח שאם

A

B

מטריצות

n \times n

כלשהן ו

(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2}

אז

(A B)^{2} + A^{2} B^{2} = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןטכניון 104016 בוחן חורף תשע"ד 2014 · 2014 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותכפל מטריצותמטריצה אנטי-סימטריתמטריצה משוחלפתהוכחה

במרחב המטריצות הממשיות בגודל

3 \times 3

, נגדיר את קבוצת המטריצות הסימטריות

S

אשר בהן סכום איברי כל שורה שווה לאפס, סכום איברי כל עמודה שווה לאפס, וגם סכום איברי האלכסון הראשי שווה לאפס.

א. הראה כי

S

מהווה תת-מרחב לינארי.

ב. מצא בסיס לתת-מרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2013 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותמטריצה אנטי-סימטריתתת-מרחבבסיסמימדהוכחה

יהי

V = R^{2 \times 2}

מרחב המטריצות הממשיות מסדר

2 \times 2

. יהיו

U = {(a a - b b 0) a, b \in R}

W = {(c d 0 c) c, d \in R}

Z = {A \in R^{2 \times 2} A^{t} = - A}

שלושה תת-מרחבים של V. אזי:
א.

U + Z = V

והסכום הוא סכום ישר.
ב.

W + Z = V

והסכום הוא סכום ישר.
ג.

U + W = V

והסכום הוא סכום ישר.
ד.

W + Z = V

אך הסכום אינו ישר.
ה.

U + W = V

אך הסכום אינו ישר.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןטכניון, קורס 104016, חורף 2012, בוחן אמצע · 2012 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבסכום ישרסכום מרחביםמטריצה אנטי-סימטריתמרחב וקטורימימד

לפניך ארבע טענות. עבור כל טענה בדוק האם היא נכונה או לא נכונה. אם היא נכונה הוכח אותה (הוכחה מלאה) ואם היא אינה נכונה הבא דוגמא נגדית והראה שהדוגמא שהבאת היא אכן דוגמא נגדית.

א. אם

A_{m \times n}

ו-

B_{n \times m}

מטריצות ממשיות ומתקיים

m < n

, אז למערכת

(B A) x = 0

יש פתרון לא טריוויאלי (

x \neq = 0

).

ב. אם V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F,

{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}

תת קבוצה תלויה לינארית ב- V, שבה כל 3 וקטורים הם בלתי תלויים לינארית ו-

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

איברים ב-F כך ש-

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + c_{3} v_{3} + c_{4} v_{4} = 0

, אז

c_{1} c_{2} c_{3} c_{4} \neq = 0

.

ג. אם

S = {v_{1}, v_{2}}

תת קבוצה בלתי תלויה לינארית ב-

R^{3}

, אז אוסף כל הוקטורים שאינם משלימים את

S

לבסיס של

R^{3}

מהווים תת מרחב וקטורי ב-

R^{3}

.

ד. (שאלת שיעורי בית, 10 נקודות) אם

A

היא מטריצה ריבועית ממשית שאינה סימטרית ואינה אנטי-סימטרית אז

A

ו-

A^{t}

בלתי תלויים לינארית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןטכניון, קורס 104016, אביב 2011, בוחן אמצע · 2011 · סמסטר ב

★★★★★

הוכח או הפרךדוגמה נגדיתהוכחהתלות לינאריתמטריצותמטריצה משוחלפתמטריצה אנטי-סימטריתבסיסדרגהגרעין

שאלות מטריצה אנטי-סימטרית באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא מטריצה אנטי-סימטרית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה אנטי-סימטרית.