כמה שאלות הרכבת העתקות יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות הרכבת העתקות באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על הרכבת העתקות לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

הרכבת העתקות הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא הרכבת העתקות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - הרכבת העתקות

Q: איך לתרגל שאלות הרכבת העתקות באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות הרכבת העתקות באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של העתקה לינארית

רמת קושי:

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ותהי

T : V \to V

ה"ל. תת-מרחב

U \subseteq V

נקרא

T

-אינווריאנטי אם

T [U] \subseteq U

(כלומר

\forall u \in U : T (u) \in U

).

תהי

T : V \to V

ה"ל. יהיו

U, W \subseteq V

תת-מרחבים

T

-אינווריאנטיים.

(א) הוכיחו כי

U + W

הוא גם

T

-אינווריאנטי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

תת-מרחבסכום מרחביםהרכבת העתקותהוכחה

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ממימד

\geq 2

ותהיינה

T, S : V \to V

ה"ל.

הוכיחו/הפריכו:

ker S \subseteq ker T \Leftarrow ker (T + S) \subseteq ker T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

גרעיןהרכבת העתקותדוגמה נגדית

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ממימד

\geq 2

ותהיינה

T, S : V \to V

ה"ל.

הוכיחו/הפריכו:

T S

הוא איזומורפיזם אם ורק אם

T

ו-

S

הם שניהם איזומורפיזמים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

איזומורפיזםהרכבת העתקותהעתקה הפיכהדרגההוכחה

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ממימד

\geq 2

ותהיינה

T, S : V \to V

ה"ל.

הוכיחו/הפריכו:

Im S \subseteq Im T \Leftarrow Im (T + S) \subseteq Im T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

תמונהסכום מרחביםהרכבת העתקותהוכחה

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ותהיינה

T, S : V \to V

ה"ל. הוכיחו כי:

dim (ker (T S)) \leq dim (ker T) + dim (ker S) .

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

גרעיןהרכבת העתקותמימדמשפט הדרגה-אפסהוכחה

הוכיחו או הפריכו: יהי

V

מ"ו נוצר סופית ותהיינה

T, S : V \to V

הע"ל.

dim (ker (T S)) \leq dim (ker S)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןהרכבת העתקותמימדהוכח או הפרךדוגמה נגדית

יהי

V

מ"ו נוצר סופית. ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית המקיימת שלכל

v \in V

מתקיים שהוקטורים

T (v), v

ת"ל.
הוכיחו כי לכל

v \in V

מתקיימים שהוקטורים

T (v), v

ת"ל.
הוכיחו כי

S T = T S

, כאשר

S : V \to V

מתקיימת.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

העתקה לינאריתהרכבת העתקותהוכחה

תהיינה

T, S : V \to V

העתקות לינאריות מתחלפות (כלומר

T \circ S = S \circ T

). הראו שמתקיים

S (ker (T)) \subseteq ker (T)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןהרכבת העתקות

יהיו

V

מרחב וקטורי מעל

R

B = (v_{1}, v_{2})

ו-

C = (w_{1}, w_{2})

בסיסים של

V

כך שמתקיים

v_{1} = 2 w_{1} - w_{2}

v_{2} = w_{1} - w_{2}

.
תהי

T : V \to V

העתקה לינארית כך ש-

[T]_{B}^{B} = (1201)

. חשבו את

[T]_{B}^{C}

ואת

[T \circ T]_{B}^{C}

.

(הבהרה:

[T]_{B}^{C} = M (T, C, B)

)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מעבר בסיסיםמטריצת ייצוגהעתקה לינאריתהרכבת העתקות

יהי

V

מ"ו ממימד

n

. תהיינה

T, S : V \to V

הע"ל.
נתון כי

Im S = Im T

ker S = ker T

. וכן נתון כי

dim Im T = 1

.

א. הוכיחו: אם

Im T \subseteq ker T

אזי

T, S

מתחלפות (

T S = S T

).

ב. הוכיחו

T, S

מתחלפות (

T S = S T

). (רמז: הראו תחילה כי אם

Im T \neq \subseteq ker T

אזי

Im T \cap ker T = {0}

)

ג. האם בהכרח

T = S

? (ניתן לפתור גם ללא הסעיפים הקודמים)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונההרכבת העתקותמימדהוכחה

שאלות הרכבת העתקות באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא הרכבת העתקות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא הרכבת העתקות.