כדי לגשת למבחני סימולציה ועוד המון שאלות נוספות, פתחו גישה מלאה
תתי-נושאים של מטריצות
רמת קושי:
תהי A∈R3×3 המטריצה הבאה:
A=22−113−124−1
א. (5 נק') מצאו את הפולינום האופייני של A, את הערכים העצמיים ואת הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי. ב. (6 נק') הוכיחו כי A לכסינה מעל R ומצאו מטריצה הפיכה P ומטריצה אלכסונית D כך ש-P−1AP=D. ג. (5 נק') האם קיימים סקלרים α,β,γ∈R כך שהמטריצה A דומה למטריצה B=100γα070β? אם כן, מצאו את הסקלרים. אם לא, הסבירו מדוע הם לא קיימים. ד. (4 נק') הוכיחו כי A הפיכה וחשבו את tr((A−1)2).
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2019 · סמסטר א
★★★★★
ערכים עצמייםוקטורים עצמייםפולינומיםאלכסוניתדטרמיננטהעקבהמטריצה הפיכה
שאלה 6
א. (12 קודות) המטריצה המייצגת העתקה ליארית T:R3→R3 בבסיס הסטדרטי E של R3 היא:
[T]E=a−1+a0a−1+a02a−2+2a0
כאשר a מספר ממשי.
נתון kerT∩ImT={0}. מצאו את a.
ב. (12 קודות) תהי A מטריצה לכסינה מסדר n×n. סמן
p(t)=antn+an−1tn−1+⋯+a1t+a0
את הפולינום האופייני שלה.
גדיר p(A)=anAn+an−1An−1+⋯+a1A+a0I מטריצה ריבועית מסדר n.
1. עבור אילו ערכי a,b המטריצה הזאת לכסינה? מקו היטב.
2. בכל אחד מהמקרים ש- A לכסינה, רשמו מטריצה אלכסונית ש- A דומה לה.
ב. (10 קודות) תהי T:V→V העתקה ליארית ויהי U תת-מרחב של V כך ש- kerT∩U={0}.
הוכיחו שאם {v1,…,vk} תת-קבוצה של U בלתי תלויה ליארית אז גם {T(v1),…,T(vk)} בלתי תלויה ליארית.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד 91 · 2018 · סמסטר ג
★★★★★
ערכים עצמייםוקטורים עצמייםמטריצותאלכסוניתפולינומיםהעתקה לינאריתגרעיןתלות לינאריתהוכחהתת-מרחב
תהיינה A,B מטריצות ריבועיות מאותו סדר מעל R.
א. אם A ו־B דומות אז יש להן אותם וקטורים עצמיים.
ב. אם A ו־B דומות ו־A לכסינה אז B לכסינה.
ג. אם A ו־B אינן לכסינות אז A ו־B אינן דומות.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד 87 · 2018 · סמסטר ב
★★★★★
מטריצותערכים עצמייםוקטורים עצמייםמטריצה הפיכההוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתאלכסוניתמעבר בסיסים
תהי A∈R3×3 המטריצה הבאה:
A=831−21−2−2−65
א. (7 נק') מצאו את הפולינום האופייני של A, את הערכים העצמיים ואת הריבוי האלגברי והגיאומטרי של כל ערך עצמי.
ב. (10 נק') הוכיחו כי A לכסינה מעל R ומצאו מטריצה הפיכה P ומטריצה אלכסונית D כך ש P−1AP=D.
ג. (7 נק') יהי T:R2[x]→R2[x] אופרטור לינארי, כך ש [T]E=A (המטריצה הנתונה) כאשר E={1,x,x2}. נתון גם, כי קיים בסיס B של R2[x] כך ש:
[T]B=700αγ0β50
מצאו את α, β, γ.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןטכניון, אלגברה לינארית 1 (104016), מועד א', סמסטר אביב תשע"ח, 20.7.18 · 2018 · סמסטר ב
★★★★★
ערכים עצמייםוקטורים עצמייםאלכסוניתמטריצה הפיכהדרגהמטריצת ייצוגמעבר בסיסיםבסיספולינומיםהוכחה
יהי T:R2[x]→R2[x] אופרטור לינארי המוגדר על ידי:
T(a+bx+cx2)=(a−2c)+(a−b−c)x+(a−2c)x2
א. (5 נק') מצאו את המטריצה המייצגת את T לפי הבסיס הסטנדרטי E={1,x,x2}. ב. (5 נק') מצאו בסיס ומימד ל-Im(T). ג. (5 נק') מצאו בסיס ומימד ל-Ker(T). ד. (10 נק') מצאו בסיס B של R2[x] כך ש-[T]B אלכסונית, ומצאו גם את [T]B. ה. (5 נק') נסמן A=[T]E (המטריצה מסעיף א'). הוכיחו כי לכל k טבעי אי-זוגי מתקיים Ak=A.
א. המכפלה A⋅At מוגדרת אם"ם m=n. ב. אם המכפלה A⋅At הפיכה אז A ריבועית. ג. אם המכפלה A⋅At הפיכה אז m≤n. ד. אם המכפלה A⋅At הפיכה אז m≥n. ה. המכפלה A⋅At תמיד אינה הפיכה.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןטכניון 2017 חורף מועד ב · 2017 · סמסטר א
★★★★★
מטריצה משוחלפתמטריצה הפיכהאלכסוניתערכים עצמיים
יהי T:R2[x]→R2[x] אופרטור לינארי המוגדר ע"י:
T(a+bx+cx2)=(2a+b−3c)+(−a+4b−3c)x+(−a+b)x2
א. (5 נק') מצאו בסיס ומימד ל-Im(T). ב. (5 נק') מצאו בסיס ומימד ל-Ker(T). ג. (10 נק') הוכיחו כי T לכסינה מעל R ומצאו בסיס B של R2[x] כך ש [T]B אלכסונית, ומצאו גם את [T]B. ד. (5 נק') הוכיחו כי Im(T2017+I)=R2[x] (כאן I היא העתקת הזהות). ה. (5 נק') מצאו את כל הערכים של α ו-β עבורם לא קיים בסיס G כך ש:
יהי T:R3→R3 אופרטור לינארי המוגדר על ידי T(v)=Av, כאשר
A=400122−122
א. מצאו בסיס ומימד ל-Im(T). ב. מצאו בסיס ומימד ל-Ker(T). ג. הוכיחו כי A לכסינה מעל R, ומצאו מטריצה הפיכה P ומטריצה אלכסונית D כך ש-P−1AP=D. ד. יהי S:R2[x]→R2[x] אופרטור לינארי כך ש-[S]B=A, כאשר B={1+x,x+x2,x2} בסיס סדור של R2[x]. מצאו את S(2+3x−2x2). ה. הוכיחו שקיים בסיס G של R2[x] כך ש-[S]G=400503004 (אין צורך למצוא את הבסיס G).
תהי A∈F10×10 מטריצה עם שישה ערכים עצמיים שונים. אזי: א. A לכסינה. ב. A−At לכסינה. ג. r(A)=6. ד. r(A)≥5. ה. r(A)≤6.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןטכניון מועד ב' חורף תשע"ו 2016 · 2016 · סמסטר א
★★★★★
מטריצותערכים עצמייםדרגהאלכסונית
שאלות אלכסונית באלגברה לינארית 1 עם פתרונות
שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא אלכסונית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אלכסונית.