כמה שאלות משפט המימד יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות משפט המימד באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משפט המימד לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

משפט המימד הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משפט המימד הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - משפט המימד

Q: איך לתרגל שאלות משפט המימד באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות משפט המימד באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב וקטורי

רמת קושי:

נסחו והוכיחו את משפט המימדים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתאוניברסיטת בר-אילן2024 סמסטר ב מועד א | 2025 סמסטר א מועד ג | 2025 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב וקטוריתת-מרחבמימדסכום מרחביםחיתוךמשפט המימדהוכחה

יהי

V

מרחב וקטורי כך ש-

dim V = 11

. יהיו

U, W, Z

תתי-מרחבים וקטוריים של

V

כך ש-

dim Z = 9

dim U = 6

וגם

dim W = 7

U \cap W \cap Z = {0_{V}}

. הוכיחו כי

U + W = V

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתבוחן · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבמימדסכום מרחביםחיתוךמשפט המימדהוכחה

יהיו

V, W \subseteq M_{2} (R)

תת-מרחבים לינאריים מעל

R

.

נתון שבסיס (סדור) של

V

הוא:

B = (b_{1} = (1010), b_{2} = (1100), b_{3} = (0011))

ובסיס (סדור) של

W

הוא:

C = (c_{1} = (1120), c_{2} = (0110), c_{3})

תהי

T : V \to W

העתקה לינארית, כך שהמטריצה שמייצגת את ההעתקה

T

לפי הבסיסים

B

ו-

C

היא:

[T]_{C}^{B} = 112 a - 1 a 3 13 2 a

נתון

c_{3} \in Ker T

(אין צורך למצוא את

c_{3}

ובנתוני השאלה גם לא ניתן למצוא את

c_{3}

).

א. (13 נק') מצאו את

a

ואת

Ker T

.

ב. (12 נק') בסעיף זה נניח ש-

a = 2

.
מצאו בסיס וממד ל-

V \cap W

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתמטריצת ייצוגגרעיןדטרמיננטהבסיסמימדחיתוךמשפט המימדערכים עצמייםפעולות שורה

א. (12 נק') יהי

V

מרחב לינארי במממד סופי מעל

R

, ויהיו

W

W_{1}

W_{2}

תתי מרחבים של

V

המקיימים:

V = W \oplus W_{1} = W \oplus W_{2} = W_{1} + W_{2}

הוכיחו ש־

V = W_{1} \oplus W_{2}

אם ורק אם

dim V = 2 dim W

.

ב. (13 נק') נתונה מטריצה שתלויה במשתנה

t \in R

A_{t} = t - a 44 2 t - 4 2 22 t - 4, a \in R

1. נתון שקיים ערך של

t

עבורו

ρ (A_{t}) = 1

. חשבו את

a

.

2. הציבו את הערך של

a

שמצאתם בסעיף 1 ומצאו את כל ערכי

t

עבורם

ρ (A_{t}) = 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב וקטוריתת-מרחבסכום ישרסכום מרחביםחיתוךמימדמשפט המימדהוכחהמטריצותדרגהדטרמיננטה

א. (12 נק') תהיינה

A, B \subseteq R_{3} [x]

הקבוצות הבאות:

A = {a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2}, a_{2} + b_{2} x + c_{2} x^{2}, a_{3} + b_{3} x + c_{3} x^{2}}

B = {a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2}, b_{1} + b_{2} x + b_{3} x^{2}, c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2}}

כאשר

a_{i}, b_{i}, c_{i} \in R

1 \leq i \leq 3

.

הוכיחו ש-

Sp (A) = R_{3} [x]

אם ורק אם

Sp (B) = R_{3} [x]

.

ב. (13 נק') תהי

A \neq = O \in M_{3} (R)

. נסמן ב-

W_{R}^{A}

את מרחב השורות של המטריצה

A

וב-

W_{C}^{A}

את מרחב העמודות של המטריצה

A

. נתון שמתקיים

W_{R}^{A} \cap W_{C}^{A} = {0}

. הוכיחו ש-

ρ (A) = 1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

פריסהמרחב שורותמרחב עמודותדרגהמימדמשפט המימדסכום מרחביםחיתוךמטריצותמטריצה משוחלפתהוכחהמרחב וקטוריבסיס

א. (15 נק') יהי

V

מרחב לינארי מממד 3 ויהיו

B = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

ו־

C = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

בסיסים סדורים של המרחב

V

. נתון

u_{1} = v_{1} + v_{2} + v_{3}

ו־

u_{2} = a v_{2}

, כאשר

a \in R

.
מצאו את

a

ואת מטריצת המעבר

M

מהבסיס

B

לבסיס

C

אם נתון ש־

M^{2} = I

(רשמו את שתי האפשרויות).

ב. (10 נק') יהיו

U

ו־

W

תת־מרחבים של מרחב לינארי נוצר סופית, ותהי

T : U \to W

העתקה לינארית. נתון

ker T + Im (T) = W

ו־

dim U > dim W

. הוכיחו

U \cap W \neq = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מעבר בסיסיםמטריצה הפיכהחזקות מטריצההעתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסמשפט המימדהוכחה

יהי

V

מרחב וקטורי כך ש-

dim V = 11

.
יהיו

U, W, Z

תתי-מרחבים של

V

כך ש-

dim Z = 9

dim U = 6

וגם

dim W = 7

U \cap W \cap Z = {0_{V}}

. הוכיחו כי

U + W = V

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבמימדסכום מרחביםחיתוךמשפט המימדהוכחה

תהיינה

T_{1}, T_{2} : V \to V

העתקות לינאריות כך ש-

(T_{2} \circ T_{1}) (v) = 0_{V}

לכל

v \in V

.
קבעו האם האי-שוויון הבא בהכרח מתקיים והוכיחו/הפריכו אותו בהתאם.

dim Im (T_{2}) \leq dim ker (T_{1})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט המימדהוכחה

א. (15 נק') יהיו

U

ו-

W

שני תת-מרחבים לינאריים של

M_{2} (R)

המוגדרים באופן הבא:

U = {(a c b d) \in M_{2} (R) 2 a + b + c + d = 0, a - b - d = 0}

W = Sp ({(1211), (1104), (m 1 1 - m 4)}), m \in R

1. מצאו בסיס וממד למרחב

U

.

2. עבור אלו ערכים של

m

מתקיים

U \cap W = {0}

?

ב. (10 נק') תהי

0 \neq = A \in M_{n} (R)

מטריצה לא הפיכה, ותהי

T : M_{n} (R) \to M_{n} (R)

העתקה לינארית המוגדרת באופן הבא: לכל

X \in M_{n} (R)

T (X) = A X

.

הוכיחו שאם קיימת מטריצה

0 \neq = B \in M_{n} (R)

כך ש-

T (B) \in Sp ({B})

אז המטריצה

B

לא הפיכה.

הערה: אין צורך להוכיח שההעתקה

T

לינארית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבמרחב וקטוריבסיסמימדפריסהחיתוךמשפט המימדמערכת משוואותמטריצותמטריצה הפיכההעתקה לינאריתדטרמיננטההוכחה

א. (13 נק') תהי

A \in M_{2} (R)

נתונה. נגדיר

T, S : M_{2} (R) \to M_{2} (R)

באופן הבא: לכל

X \in M_{2} (R)

מתקיים

T (X) = A X, S (X) = X A

נתון

T ((0010)) = (0012), T ((0001)) = (0024)

1. מצאו את המטריצה

A

.
2. מצאו בסיס וממד למרחב

Im T \cap Im S

.

ב. (12 נק') יהיו

U, V, W

תת-מרחבים לינאריים של מרחב לינארי

L

. נתון ש-

U \subseteq W

. הוכיחו כי

(U + V) \cap W = U + (V \cap W)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 86 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתתמונהחיתוךמטריצת ייצוגתת-מרחבהוכחהסכום מרחביםמשפט המימד

שאלות משפט המימד באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא משפט המימד ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משפט המימד.