כמה שאלות חד-חד-ערכי יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות חד-חד-ערכי באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על חד-חד-ערכי לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

חד-חד-ערכי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא חד-חד-ערכי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - חד-חד-ערכי

Q: איך לתרגל שאלות חד-חד-ערכי באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות חד-חד-ערכי באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של העתקה לינארית

רמת קושי:

יהי

V = R^{n}

מ"ו מעל

R

. נגדיר מרחב התבניות הבי-לינאריות הסימטריות:

K := {B : V \times V \to R ∣ B היא תבנית בי-לינארית סימטרית}

נגדיר העתקה

T : {A \in R^{n \times n} ∣ A סימטרית} \to K

על ידי

T (A) = B_{A}

כאשר

B_{A} (v, u) := v^{t} A u

.

א.
i. הוכיחו

T

הע"ל.
ii. הוכיחו

T

חח"ע.
iii. נתנו

dim K = dim ({A \in R^{n \times n} ∣ A סימטרית})

. מהו

T

על?

ב.
i. הוכיחו כי זו אכן תבנית בי-לינארית.
ii. נאמר שתבנית בי-לינארית היא סימטרית כאשר לכל

u, v \in V

B (v, u) = B (u, v)

. הוכיחו כי

B_{A}

היא סימטרית אם ורק אם

A

סימטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב וקטוריהעתקה לינאריתחד-חד-ערכיעלמטריצותהוכחה

יהי

U \subseteq R_{4} [x]

התת־מרחב הבא:

U = {a + (a + b) x + (b + c) x^{2} + (a - b + c) x^{3} ∣ a, b, c \in R}

א. (9 נק') מצאו בסיס וממד ל־

U

.

עבור התת־מרחב

U

שנתון בתחילת השאלה, נגדיר העתקה לינארית

T : U \to R^{3}

על ידי:

T (a + (a + b) x + (b + c) x^{2} + (a - b + c) x^{3}) = (a + b + c, a + b, a + c)

ב. (6 נק') הוכיחו שההעתקה

T

איזומורפיזם.

ג. (10 נק') מצאו את הנוסחה המפורשת להעתקה ההפוכה

T^{- 1} ((a, b, c))

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבבסיסמימדפריסהתלות לינאריתהעתקה לינאריתאיזומורפיזםחד-חד-ערכיעלגרעיןהעתקה הפיכה

יהיו

U, V, W

מרחבים וקטוריים נוצרים סופית. תהי

T : V \to W

העתקה לינארית כך ש-

rk T \geq dim U

. (הבהרה:

rk T = Rank T

)
הוכיחו כי קיימת העתקה לינארית

S : U \to V

כך ש-

T \circ S

חד-חד-ערכית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתחד-חד-ערכיהרכבת העתקותדרגהתמונההוכחה

תהי

T : V \to W

הע"ל (

V, W

מ"ו נ"ס). אזי,

T

הפיכה (בתור הע"ל) אם ורק אם היא חח"ע ועל.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתהעתקה הפיכהחד-חד-ערכיעלהוכחה

מטריצה

K \in M_{p \times q} (F)

נקראת מטריצת שיכון כאשר למערכת המשוואות

K x = 0_{F^{p}}

קיים פתרון יחיד ב-

F^{q}

.
נתונות

A \in M_{m \times n} (F)

B \in M_{l \times m} (F)

. הוכיחו כי אם

A

ו-

B

הן מטריצות שיכון, אז גם

B A

היא מטריצת שיכון.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותמערכת משוואותגרעיןחד-חד-ערכיהוכחה

א. (12 נק') יהיו

p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x) \in R_{3} [x]

פולינומים שונים זה מזה.

נתון שמתקיים

p_{1} (1) = p_{2} (1) = p_{3} (1) = 0

.

הוכיחו שהקבוצה

{p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x)}

תלויה לינארית.

ב. (13 נק') תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית,

T \neq = 0

(כלומר

T

אינה העתקת האפס).

נתון ש-

Im T \cap Ker T \neq = {0}

.

1. חשבו את

dim Im T

.

2. הוכיחו כי

T^{2} = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פולינומיםתלות לינאריתגרעיןתמונהמימדמשפט הדרגה-אפסהעתקה לינאריתחד-חד-ערכיחזקות מטריצההוכחה

תהיינה

T, S : V \to U

העתקות לינאריות כך ש-

S

הפיכה ומתקיים

T \circ S^{- 1}

היא על. הוכיחו כי

T

היא איזומורפיזם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתאיזומורפיזםהעתקה הפיכההרכבת העתקותעלחד-חד-ערכיהוכחה

יהיו

V, W

מרחבים וקטוריים מעל

F

ותהי

T : V \to W

העתקה לינארית. הוכיחו כי

T

חח"ע אם"ם

ker (T) = {0}

וכי

T

על אם"ם

dim (Im T) = dim (W)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

העתקה לינאריתחד-חד-ערכיעלגרעיןתמונההוכחה

יהיו

V, W

מרחבים וקטוריים סופיים מעל

F

עם

dim W < dim V

.

הוכיחו או הפריכו: הקבוצה של כל ההעתקות הלינאריות

T : V \to W

שאינן חד-חד-ערכיות היא תת-מרחב של

Hom (V, W)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א' · 2023 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבחד-חד-ערכימשפט הדרגה-אפסהוכחה

יהיו

U, V \subseteq R^{n}

תתי מרחבים, ונתון שמתקיים

U + V \neq = R^{n}

.

א. (13 נק') הוכיחו כי אם

U \cap V = {0}

אז

U^{⊥} \cap V^{⊥} \neq = {0}

.

ב. (12 נק') נתונה מטריצה

A \in M_{m} (R)

ונגדיר העתקה לינארית

T : M_{m \times n} (R) \to M_{m \times n} (R)

באופן הבא:

T (X) = A X

לכל

X \in M_{m \times n} (R)

.

הוכיחו שההעתקה

T

איזומורפיזם אם ורק אם

A

מטריצה הפיכה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 89 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתאיזומורפיזםהעתקה הפיכהמרחב וקטוריתת-מרחבגרעיןחד-חד-ערכיעלמטריצה הפיכהכפל מטריצותמשפט המימדסכום מרחביםחיתוךהוכחה

שאלות חד-חד-ערכי באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא חד-חד-ערכי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא חד-חד-ערכי.