הוכיחו או הפריכו: תהי A ∈ R n × n כך ש- A 2 = 0 , אזי A − 2 I הפיכה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
מטריצה הפיכה חזקות מטריצה הוכח או הפרך
א. (15 נק') יהיו U , W ⊆ R 4 [ x ] שני תתי-מרחבים הבאים: U = Sp ({ 1 − x , x − x 2 , x 2 − x 3 }) W = { p ( x ) ∈ R 4 [ x ] ∣ p ( 2 ) − p ( 1 ) = p ( 2 ) + p ( 1 ) = 0 } 1. מצאו בסיס וממד ל- W . 2. האם U ∪ W תת-מרחב לינארי של R 4 [ x ] ? ב. (10 נק') תהיינה A ו- B מטריצות ריבועיות מסדר n המקיימות A B + A 2 = I . הוכיחו כי ρ ( A 2 − B 2 ) = ρ ( A − B ) .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב בסיס מימד פריסה פולינומים הוכח או הפרך מטריצות מטריצה הפיכה דרגה הוכחה כפל מטריצות
א. (12 נק') יהי V מרחב לינארי מעל C , ויהיו v 1 , … , v k , u , w ∈ V וקטורים כלשהם. נתבונן במשוואות הבאות: (1) x 1 v 1 + ⋯ + x k v k = u (2) x 1 v 1 + ⋯ + x k − 1 v k − 1 = w (3) x 1 v 1 + ⋯ + x k − 1 v k − 1 = u נתון שלמשוואה (1) אינסוף פתרונות ולמשוואה (2) פתרון יחיד. קבעו האם למשוואה (3) יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון. נמקו היטב. הערה: במשוואה (1) יש k וקטורים בסכום ובמשוואות (2) ו-(3) יש k − 1 וקטורים בסכום. ב. (13 נק') נתונות המטריצות הבאות: A מסדר m × n , B מסדר n × m ו- C ריבועית מסדר n . נתון שהמטריצה A C B הפיכה. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: 1. אם המטריצה C הפיכה אז גם המטריצה A B הפיכה. 2. אם המטריצה C לא הפיכה אז n > m .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2025 · סמסטר א
מערכת משוואות תלות לינארית פריסה מטריצה הפיכה דרגה כפל מטריצות הוכח או הפרך דוגמה נגדית
הוכיחו או הפריכו: תהי A ∈ R n × n כך ש- rank ( A ) = rank ( A k ) לכל k טבעי. אזי A הפיכה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
דרגה מטריצה הפיכה חזקות מטריצה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תהיינה A , B ∈ R n × n כך ש- A הפיכה וכך ש- ( A + B ) 2 = A 2 + B 2 . הוכיחו/הפריכו: א. B = 0 . ב. tr ( B ) = tr ( − B ) .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
מטריצות מטריצה הפיכה עקבה כפל מטריצות הוכח או הפרך
יהי B בסיס סדור של המרחב הלינארי R 3 [ x ] ויהי C בסיס סדור של המרחב הלינארי R 3 . תהיינה T : R 3 [ x ] → R 3 ו־ S : R 3 → R 3 [ x ] העתקות לינאריות. נתון ש־ dim Im S T < dim Im S . כמו כן, המטריצות המייצגות את ההעתקות S ו־ S T הן: [ S T ] B = a + 1 1 1 1 2 − a 0 1 − 1 , [ S ] B C = 2 − a 3 − 2 a 1 1 0 − 1 0 1 1 , a ∈ R א. (13 נק') מצאו את כל הערכים של a המקיימים את כל תנאי השאלה. ב. (12 נק') בסעיף זה הציבו a = 1 במטריצות המייצגות הנתונות, וענו על הסעיפים הבאים: 1. מצאו את [ T ] C B , המטריצה שמייצגת את ההעתקה T לפי הבסיסים B ו־ C . 2. הוכיחו שמתקיים Ker T = Ker S T . האוניברסיטה הפתוחה מועד 81 · 2025 · סמסטר א
מטריצת ייצוג דטרמיננטה דרגה גרעין תמונה העתקה לינארית הרכבת העתקות מטריצה הפיכה משפט הדרגה-אפס הוכחה
הערה: הנתונים הבאים מתייחסים לכל סעיפי השאלה. נתונות מטריצות ריבועיות A ו־ C מסדר n . נגדיר תת־קבוצה של M n ( R ) על ידי: U = { X ∈ M n ( R ) ∣ A X + X A = C } א. (13 נק') תהי מטריצה B ∈ U ונתון שהמטריצות B ו־ C מתחלפות. 1. הוכיחו שהמטריצות A ו־ B 2 מתחלפות. 2. נתון בנוסף שהמטריצה A הפיכה וש־ B 2 ∈ U . הוכיחו tr ( B 2 ) = tr ( B ) . ב. (12 נק') ללא קשר לנתוני סעיף א. מצאו את כל המטריצות C עבורן הקבוצה U תת־מרחב לינארי של M n ( R ) . יש להוכיח שבמקרים אלו אכן הקבוצה U היא תת־מרחב לינארי.
האוניברסיטה הפתוחה מועד 81 · 2025 · סמסטר א
מטריצות עקבה תת-מרחב הוכחה מטריצה הפיכה כפל מטריצות
א. (12 נק') תהיינה A , B ∈ M 3 ( C ) המטריצות הבאות: A = a 0 − 1 1 1 0 a − 1 2 a 1 , B = a − 2 2 − 1 1 − 1 1 − 2 2 a − 2 , a ∈ C .1 מצאו את כל הערכים של a עבורם מתקיים ∣ A ∣ = ∣ B ∣ . .2 האם קיימים ערכים של a עבורם מתקיים B = A − 1 ? ב. (13 נק') יהי V מרחב לינארי נוצר סופית, ותהי T : V → V העתקה לינארית. הוכיחו שאם Ker ( T 2 ) ∩ Im T = { 0 } אז Ker T = Ker ( T 2 ) . האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2025 · סמסטר א
מטריצות דטרמיננטה מטריצה הפיכה העתקה לינארית גרעין תמונה
א. (10 נק') פתרו את המשוואה 9 z ∣ z ∣ i = 1 . ב. (15 נק') תהי A ∈ M n ( R ) מטריצה המקיימת A A t = I . 1. הוכיחו שמתקיים det ( A + I ) = det A ⋅ det ( A + I ) . 2. נתון בנוסף שמתקיים ( A − I ) ( A + 2 I ) = O ו- n = 3 . חשבו את det A ואת det ( A + I ) . הערה: ניתן להשתמש בתוצאת סעיף 1 גם אם לא הוכחתם אותה.
האוניברסיטה הפתוחה מועד 83 · 2024 · סמסטר ג
דטרמיננטה מטריצה משוחלפת מטריצה הפיכה ערכים עצמיים הוכחה כפל מטריצות
א. (12 נק') תהי B ∈ M n ( R ) מטריצה נתונה, ותהי U תת-קבוצה של M n ( R ) המוגדרת על ידי: U = { X ∈ M n ( R ) ∣ X B = X } 1. הוכיחו ש- U תת-מרחב לינארי של M n ( R ) . 2. הוכיחו שאם המטריצה B לא הפיכה אז כל מטריצה X ∈ U לא הפיכה. ב. (13 נק') תהי T : R 3 → R 3 העתקה לינארית, T = 0 (כלומר T אינה העתקת האפס). נתון ש dim Ker T > dim Im T . הוכיחו שמתקיימות אחת משתי האפשרויות הבאות: (1) T 2 = 0 או (2) Im T ⊕ Ker T = R 3 .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 83 · 2024 · סמסטר ג
העתקה לינארית גרעין תמונה משפט הדרגה-אפס סכום ישר מימד חזקות מטריצה תת-מרחב מטריצה הפיכה הוכחה
שאלות מטריצה הפיכה באלגברה לינארית 1 עם פתרונות שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא מטריצה הפיכה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה הפיכה.