כמה שאלות חזקות מטריצה יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות חזקות מטריצה באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על חזקות מטריצה לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

חזקות מטריצה הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא חזקות מטריצה הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - חזקות מטריצה

Q: איך לתרגל שאלות חזקות מטריצה באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות חזקות מטריצה באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מטריצות

רמת קושי:

הוכיחו או הפריכו: תהיינה

A, B \in F^{n \times n}

A, B

נילפוטנטיות

⟸

A + B

נילפוטנטית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותחזקות מטריצההוכח או הפרךדוגמה נגדית

הוכיחו או הפריכו: נניח

A

נילפוטנטית, ויהי

0 \neq = v \in V

ויהי

α \in F

כך ש-

A v = α v

. אזי,

α = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותחזקות מטריצהערכים עצמייםהוכח או הפרך

הוכיחו או הפריכו: תהיינה

A, B \in F^{n \times n}

A, B

נילפוטנטיות

⟹

A + B

נילפוטנטית.
(נזכר שמטריצה

A \in F^{n \times n}

נקראת נילפוטנטית אם קיים

k \in N

כך ש-

A^{k} = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותחזקות מטריצההוכח או הפרךדוגמה נגדית

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

כך ש-

A^{2} = 0

, אזי

A - 2 I

הפיכה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה הפיכהחזקות מטריצההוכח או הפרך

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

כך ש-

rank (A) = rank (A^{k})

לכל

k

טבעי. אזי

A

הפיכה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

דרגהמטריצה הפיכהחזקות מטריצההוכח או הפרךדוגמה נגדית

א. (12 נק') תהי

B \in M_{n} (R)

מטריצה נתונה, ותהי

U

תת-קבוצה של

M_{n} (R)

המוגדרת על ידי:

U = {X \in M_{n} (R) ∣ X B = X}

1. הוכיחו ש-

U

תת-מרחב לינארי של

M_{n} (R)

.

2. הוכיחו שאם המטריצה

B

לא הפיכה אז כל מטריצה

X \in U

לא הפיכה.

ב. (13 נק') תהי

T : R^{3} \to R^{3}

העתקה לינארית,

T \neq = 0

(כלומר

T

אינה העתקת האפס). נתון ש

dim Ker T > dim Im T

. הוכיחו שמתקיימות אחת משתי האפשרויות הבאות:

(1)

T^{2} = 0

או (2)

Im T \oplus Ker T = R^{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפססכום ישרמימדחזקות מטריצהתת-מרחבמטריצה הפיכההוכחה

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

כך ש-

rank (A^{2}) = rank (A^{3})

. אזי,

C (A) = C (A^{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

דרגהמרחב עמודותחזקות מטריצההוכח או הפרךדוגמה נגדית

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

המקיימת

A^{2} - A = 0

. אזי לא קיים

v \in R^{n}

כך ש-

A v \neq = 0

וגם

A v \neq = v

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצותחזקות מטריצההוכח או הפרך

א. (15 נק') תהי המטריצה הבאה ב־

M_{3} (C)

A = ai \overset{a}{ˉ} i i - 1 \overset{a}{ˉ} i - 1 1 - 1 i, a \in C

1. הוכיחו שלכל ערך של

a

הדטרמיננטה של

A

היא מספר מדומה טהור.

2. נתון

∣ A ∣ = 0

. מצאו את כל ערכי

a

המקיימים

Im (a) = 1

.

ב. (10 נק') תהי

T : V \to V

העתקה לינארית מעל שדה

F

. הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה:
אם מתקיים

Im (T^{2}) = Im (T^{3})

אז

Im (T) = Im (T^{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

דטרמיננטהמטריצותהוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתתמונההעתקה לינאריתחזקות מטריצה

א. (15 נק') יהי

V

מרחב לינארי מממד 3 ויהיו

B = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

ו־

C = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

בסיסים סדורים של המרחב

V

. נתון

u_{1} = v_{1} + v_{2} + v_{3}

ו־

u_{2} = a v_{2}

, כאשר

a \in R

.
מצאו את

a

ואת מטריצת המעבר

M

מהבסיס

B

לבסיס

C

אם נתון ש־

M^{2} = I

(רשמו את שתי האפשרויות).

ב. (10 נק') יהיו

U

ו־

W

תת־מרחבים של מרחב לינארי נוצר סופית, ותהי

T : U \to W

העתקה לינארית. נתון

ker T + Im (T) = W

ו־

dim U > dim W

. הוכיחו

U \cap W \neq = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מעבר בסיסיםמטריצה הפיכהחזקות מטריצההעתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסמשפט המימדהוכחה

שאלות חזקות מטריצה באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא חזקות מטריצה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא חזקות מטריצה.