אילו שאלות מבחנים יש מהאוניברסיטה הפתוחה באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה (אופ) באלגברה לינארית 1. ניתן לסנן לפי נושא ורמת קושי ולתרגל ממוקד לפני הבחינה.

איפה למצוא שאלות באלגברה לינארית 1 האוניברסיטה הפתוחה?

שאלות באלגברה לינארית 1 האוניברסיטה הפתוחה (אופ) עם פתרונות זמינות באתר prepd - מאגר של 1908 שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, ממוינות לפי נושא ורמת קושי. ניתן לתרגל באתר ישירות, ללא צורך בהורדה.

כיצד ניתן להתכונן למבחן באלגברה לינארית 1 באוניברסיטה הפתוחה?

הדרך היעילה להתכונן למבחן באלגברה לינארית 1 באוניברסיטה הפתוחה היא לתרגל שאלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. באתר prepd ניתן לסנן שאלות לפי נושא ורמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה - הכנה שמדמה את תנאי הבחינה האמיתית.

האם יש פתרונות לשאלות מבחנים של האוניברסיטה הפתוחה באלגברה לינארית 1?

השאלות באלגברה לינארית 1 מהאוניברסיטה הפתוחה באתר prepd מגיעות עם תשובות לבדיקה עצמית ופתרונות לחלק מהשאלות. כך ניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון הנכונה לפני הבחינה.

אלגברה לינארית 1 האוניברסיטה הפתוחה

Q: האם יש מבחנים באלגברה לינארית 1 באוניברסיטה הפתוחה משנים אחרונות?

המאגר ב-prepd כולל שאלות ממבחני אלגברה לינארית 1 באוניברסיטה הפתוחה ממועדים לאורך השנים - כולל מבחנים מ-2023, 2024, 2025 ו-2026. ניתן לסנן את השאלות לפי נושא ורמת קושי ולהתמקד בנושאים החוזרים בכל מועד.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

א. (15 נק') יהיו

U, W \subseteq R_{4} [x]

שני תתי-מרחבים הבאים:

U = Sp ({1 - x, x - x^{2}, x^{2} - x^{3}})

W = {p (x) \in R_{4} [x] ∣ p (2) - p (1) = p (2) + p (1) = 0}

1. מצאו בסיס וממד ל-

W

.

2. האם

U \cup W

תת-מרחב לינארי של

R_{4} [x]

?

ב. (10 נק') תהיינה

A

ו-

B

מטריצות ריבועיות מסדר

n

המקיימות

A B + A^{2} = I

. הוכיחו כי

ρ (A^{2} - B^{2}) = ρ (A - B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבבסיסמימדפריסהפולינומיםהוכח או הפרךמטריצותמטריצה הפיכהדרגההוכחהכפל מטריצות

א. (12 נק') יהי

V

מרחב לינארי מעל

C

, ויהיו

v_{1}, \dots, v_{k}, u, w \in V

וקטורים כלשהם.

נתבונן במשוואות הבאות:

(1)

x_{1} v_{1} + \dots + x_{k} v_{k} = u

(2)

x_{1} v_{1} + \dots + x_{k - 1} v_{k - 1} = w

(3)

x_{1} v_{1} + \dots + x_{k - 1} v_{k - 1} = u

נתון שלמשוואה (1) אינסוף פתרונות ולמשוואה (2) פתרון יחיד.

קבעו האם למשוואה (3) יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון. נמקו היטב.

הערה: במשוואה (1) יש

k

וקטורים בסכום ובמשוואות (2) ו-(3) יש

k - 1

וקטורים בסכום.

ב. (13 נק') נתונות המטריצות הבאות:

A

מסדר

m \times n

B

מסדר

n \times m

ו-

C

ריבועית מסדר

n

.

נתון שהמטריצה

A C B

הפיכה.

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

1. אם המטריצה

C

הפיכה אז גם המטריצה

A B

הפיכה.

2. אם המטריצה

C

לא הפיכה אז

n > m

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מערכת משוואותתלות לינאריתפריסהמטריצה הפיכהדרגהכפל מטריצותהוכח או הפרךדוגמה נגדית

יהי

U \subseteq R_{4} [x]

התת־מרחב הבא:

U = {a + (a + b) x + (b + c) x^{2} + (a - b + c) x^{3} ∣ a, b, c \in R}

א. (9 נק') מצאו בסיס וממד ל־

U

.

עבור התת־מרחב

U

שנתון בתחילת השאלה, נגדיר העתקה לינארית

T : U \to R^{3}

על ידי:

T (a + (a + b) x + (b + c) x^{2} + (a - b + c) x^{3}) = (a + b + c, a + b, a + c)

ב. (6 נק') הוכיחו שההעתקה

T

איזומורפיזם.

ג. (10 נק') מצאו את הנוסחה המפורשת להעתקה ההפוכה

T^{- 1} ((a, b, c))

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבבסיסמימדפריסהתלות לינאריתהעתקה לינאריתאיזומורפיזםחד-חד-ערכיעלגרעיןהעתקה הפיכה

תהי

A \subseteq C^{3}

התת-קבוצה הבאה:

A = {u_{1} = (1, i, 1), u_{2} = (i, 1, a), u_{3} = (1 + ai, 0, 1)}

a \in C

.

א. (13 נק')

1. מצאו את כל הערכים של

a

עבורם הקבוצה

A

תלויה לינארית.

2. עבור כל אחד מהערכים של

a

שמצאתם בסעיף 1, רשמו את

u_{3}

כצירוף לינארי של

u_{1}

ו-

u_{2}

.

יהיו

V = C^{3}

ו-

W = M_{2} (C)

מרחבים לינאריים מעל השדה

C

, ותהי

T : V \to W

העתקה לינארית המקיימת:

T (1, i, 1) = T (i, 1, a) = T (1 + ai, 0, 1) = (12 i 1)

ב. (12 נק') בדקו האם קיימת העתקה לינארית שמקיימת את תנאי השאלה עבור כל אחד מערכי

a

הבאים:

1.

a = 1

a = 0

a = - 1

נמקו היטב את תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תלות לינאריתדטרמיננטהפריסההעתקה לינאריתבסיסמרחב וקטורי

א. (15 נק') תהיינה

A, B \in M_{3} (C)

המטריצות הבאות:

A = a 0 a - a a^{2} 0 a - 1 - a a, B = a^{2} - a - a - 2 a 0 - 2 a a a 2 a, a \in C

מצאו את כל הערכים של

a

עבורם המטריצות

A

ו-

B

דומות.

ב. (10 נק') תהי

T : R^{n} \to R^{n}

העתקה לינארית.

הוכיחו שאם

Ker T = (Im T)^{⊥}

אז

Ker T = Ker (T^{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותדטרמיננטהעקבהערכים עצמייםפולינומיםהעתקה לינאריתגרעיןתמונהסכום ישרהוכחה

א. (10 נק') יהיו

U

ו־

V

תת־מרחבים של

R^{n}

. נתון ש־

U^{⊥} \cap V^{⊥} \neq = {0}

. הוכיחו ש־

U + V \neq = R^{n}

.

ב. (15 נק') נתונה מטריצה

A = a 44 442 - 4 24, a \in R

מצאו את כל הערכים של

a

עבורם המטריצה

A

לא לכסינה מעל

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחבסכום מרחביםהוכחהמטריצותערכים עצמייםוקטורים עצמייםלכסוןדטרמיננטהדרגהמרחב וקטורי

א. (13 נק') יהי

V

מרחב לינארי מעל

R

. יהיו

v_{1}, \dots, v_{k}, u, w \in V

וקטורים כלשהם, כך שהקבוצה

{v_{1}, \dots, v_{k}}

פורשת את המרחב

V

.

נתבונן במשוואות הבאות:

(1) x_{1} v_{1} + \dots + x_{k} v_{k} = u

(2) x_{1} v_{1} + \dots + x_{k - 1} v_{k - 1} = w

נתון שלמשוואה (1) אינסוף פתרונות ולמשוואה (2) אין פתרון. הוכיחו שהקבוצה

{v_{1}, \dots, v_{k - 1}}

תלויה לינארית.

הערה: במשוואה (1) יש

k

וקטורים בסכום ובמשוואה (2) יש

k - 1

וקטורים בסכום.

ב. (12 נק') יהי

V

מרחב לינארי נוצר סופית, ויהיו

B

C

ו־

D

בסיסים (סדורים) של

V

. נסמן ב־

M

את מטריצת המעבר מהבסיס

D

לבסיס

C

. תהי

T : V \to V

העתקה לינארית.

1. הוכיחו שמתקיים

[T]_{B}^{C} = [T]_{B}^{D} M

.

2. נתון ש־

∣ [T]_{D}^{C} ∣ = 1

∣ [T]_{B}^{C} ∣ = 3

ו־

∣ [T]_{B}^{D} ∣ = 6

. חשבו

∣ T ∣

.

הערה: ניתן להשתמש בתוצאת סעיף 1 גם אם לא הוכחתם אותה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תלות לינאריתפריסהמערכת משוואותהוכחההעתקה לינאריתמטריצת ייצוגמעבר בסיסיםדטרמיננטה

יהי

B

בסיס סדור של המרחב הלינארי

R_{3} [x]

ויהי

C

בסיס סדור של המרחב הלינארי

R^{3}

. תהיינה

T : R_{3} [x] \to R^{3}

ו־

S : R^{3} \to R_{3} [x]

העתקות לינאריות. נתון ש־

dim Im S T < dim Im S

.

כמו כן, המטריצות המייצגות את ההעתקות

S

ו־

S T

הן:

[S T]_{B} = a + 1 11 12 - a 01 - 1, [S]_{B}^{C} = 2 - a 3 - 2 a 1 10 - 1 011, a \in R

א. (13 נק') מצאו את כל הערכים של

a

המקיימים את כל תנאי השאלה.

ב. (12 נק') בסעיף זה הציבו

a = 1

במטריצות המייצגות הנתונות, וענו על הסעיפים הבאים:

1. מצאו את

[T]_{C}^{B}

, המטריצה שמייצגת את ההעתקה

T

לפי הבסיסים

B

ו־

C

.

2. הוכיחו שמתקיים

Ker T = Ker S T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצת ייצוגדטרמיננטהדרגהגרעיןתמונההעתקה לינאריתהרכבת העתקותמטריצה הפיכהמשפט הדרגה-אפסהוכחה

הערה: הנתונים הבאים מתייחסים לכל סעיפי השאלה.

נתונות מטריצות ריבועיות

A

ו־

C

מסדר

n

. נגדיר תת־קבוצה של

M_{n} (R)

על ידי:

U = {X \in M_{n} (R) ∣ A X + X A = C}

א. (13 נק') תהי מטריצה

B \in U

ונתון שהמטריצות

B

ו־

C

מתחלפות.

1. הוכיחו שהמטריצות

A

ו־

B^{2}

מתחלפות.

2. נתון בנוסף שהמטריצה

A

הפיכה וש־

B^{2} \in U

. הוכיחו

tr (B^{2}) = tr (B)

.

ב. (12 נק') ללא קשר לנתוני סעיף א. מצאו את כל המטריצות

C

עבורן הקבוצה

U

תת־מרחב לינארי של

M_{n} (R)

. יש להוכיח שבמקרים אלו אכן הקבוצה

U

היא תת־מרחב לינארי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותעקבהתת-מרחבהוכחהמטריצה הפיכהכפל מטריצות

יהיו

V, W \subseteq M_{2} (R)

תת-מרחבים לינאריים מעל

R

.

נתון שבסיס (סדור) של

V

הוא:

B = (b_{1} = (1010), b_{2} = (1100), b_{3} = (0011))

ובסיס (סדור) של

W

הוא:

C = (c_{1} = (1120), c_{2} = (0110), c_{3})

תהי

T : V \to W

העתקה לינארית, כך שהמטריצה שמייצגת את ההעתקה

T

לפי הבסיסים

B

ו-

C

היא:

[T]_{C}^{B} = 112 a - 1 a 3 13 2 a

נתון

c_{3} \in Ker T

(אין צורך למצוא את

c_{3}

ובנתוני השאלה גם לא ניתן למצוא את

c_{3}

).

א. (13 נק') מצאו את

a

ואת

Ker T

.

ב. (12 נק') בסעיף זה נניח ש-

a = 2

.
מצאו בסיס וממד ל-

V \cap W

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתמטריצת ייצוגגרעיןדטרמיננטהבסיסמימדחיתוךמשפט המימדערכים עצמייםפעולות שורה

שאלות אלגברה לינארית 1 באוניברסיטה הפתוחה עם פתרונות

מאגר מבחנים באלגברה לינארית 1 מהאוניברסיטה הפתוחה (אופ) - 1908 שאלות ממוינות לפי נושא ורמת קושי, עם פתרונות מלאים לבדיקה עצמית. השאלות מכסות מועדים לאורך השנים, כולל מבחנים מ-2023, 2024, 2025 ו-2026. נושאים מרכזיים: מטריצות, מערכת משוואות, מרחב וקטורי, העתקה לינארית, ערכים עצמיים. ניתן לסנן שאלות חוזרות, להתאמן על נושא ספציפי או להריץ סימולציית מבחן לפני הבחינה. הכנה לאלגברה לינארית 1 מתמקדת בתרגול מטריצות, מרחבים וקטוריים והעתקות לינאריות ממבחנים. לימוד עצמי לפי נושאים - עם דגש על שאלות חוזרות - הוא הדרך הכי יעילה לזהות פערים לפני הבחינה.