א. (15 נק') יהיו U , W ⊆ R 4 [ x ] שני תתי-מרחבים הבאים: U = Sp ({ 1 − x , x − x 2 , x 2 − x 3 }) W = { p ( x ) ∈ R 4 [ x ] ∣ p ( 2 ) − p ( 1 ) = p ( 2 ) + p ( 1 ) = 0 } 1. מצאו בסיס וממד ל- W . 2. האם U ∪ W תת-מרחב לינארי של R 4 [ x ] ? ב. (10 נק') תהיינה A ו- B מטריצות ריבועיות מסדר n המקיימות A B + A 2 = I . הוכיחו כי ρ ( A 2 − B 2 ) = ρ ( A − B ) .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב בסיס מימד פריסה פולינומים הוכח או הפרך מטריצות מטריצה הפיכה דרגה הוכחה כפל מטריצות
נגדיר T : R 5 [ x ] → R 5 [ x ] באופן הבא: ∀ p ( x ) ∈ R 5 [ x ] T ( p ( x )) := 2 p ( x ) + p ( − x ) א. הוכיחו כי T העתקה לינארית. ב. מצאו בסיס ומימד ל- Im T . הוכיחו תשובתכם. ג. הוכיחו כי R 5 [ x ] = ker T ⊕ Im T .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
העתקה לינארית גרעין תמונה סכום ישר בסיס מימד פולינומים הטלה הוכחה
מצאו בסיס ומימד עבור U ∩ W ו- U + W , כאשר U , W הם תתי המרחבים הבאים של R 2 [ x ] מעל R : W = sp { 1 + x + x 2 , x + x 2 } U = { p ( x ) ∈ R 2 [ x ] ∣ p ′ ( 1 ) = 0 , p ( 1 ) = 0 } הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב בסיס מימד סכום מרחבים חיתוך פולינומים
העתקה לינארית T : R [ x ] ≤ 2 → R [ x ] ≤ 2 מוגדרת על ידי T ( p ( x )) = p ( x + 1 ) − p ( 0 ) ⋅ x 2 − p ( 1 ) ⋅ ( x + 1 ) . T .
האוניברסיטה העברית מועד א · 2025 · סמסטר א
העתקה לינארית גרעין תמונה בסיס מטריצת ייצוג פולינומים
א. (15 נק') תהיינה A , B ∈ M 3 ( C ) המטריצות הבאות: A = a 0 a − a a 2 0 a − 1 − a a , B = a 2 − a − a − 2 a 0 − 2 a a a 2 a , a ∈ C מצאו את כל הערכים של a עבורם המטריצות A ו- B דומות. ב. (10 נק') תהי T : R n → R n העתקה לינארית. הוכיחו שאם Ker T = ( Im T ) ⊥ אז Ker T = Ker ( T 2 ) . האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2025 · סמסטר א
מטריצות דטרמיננטה עקבה ערכים עצמיים פולינומים העתקה לינארית גרעין תמונה סכום ישר הוכחה
מצאו העתקה מפורשת T : R 2 [ x ] → R 3 המקיימת T ( 1 ) = 3 0 1 , T ( x ) = 1 0 1 , T ( 1 + x 2 ) = 0 1 0 , T ( 2 + 2 x + x 2 ) = 5 1 3 או הוכיחו שלא קיימת כזו. אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר ב
העתקה לינארית תלות לינארית פולינומים
נגדיר הע"ל T : R 3 [ x ] → R 3 [ x ] על ידי: T ( 1 ) = 1 + x − x 3 , T ( x ) = 0 , T ( x 2 ) = 1 + x + 3 x 2 + 2 x 3 , T ( x 3 ) = 1 + x + 2 x 2 + x 3 מצאו בסיס ומימד לגרעין ולתמונה של T . הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2024 · סמסטר ב
העתקה לינארית גרעין תמונה בסיס מימד פולינומים
העתקה לינארית T : R ≤ 3 [ x ] → R 2 מוגדרת באופן הבא: T ( p ) = ( p ′ ( 0 ) p ′ ( 1 ) ) לכל p ∈ R ≤ 3 [ x ] . מצאו בסיסים של ker ( T ) ו- Im ( T ) . (הבהרה: כאן R ≤ 3 [ x ] מסמן את מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל- 3 , p ′ ( a ) מסמן את הנגזרת של הפולינום p בנקודה x = a )
האוניברסיטה העברית מועד ב · 2024 · סמסטר א
העתקה לינארית גרעין תמונה בסיס פולינומים
מצאו בסיס ומימד עבור U ∩ W ו- U + W , כאשר U , W הם תתי המרחבים של R 2 [ x ] מעל R : W = sp { 1 + x + x 2 , x + x 2 } U = { p ( x ) ∈ R 2 [ x ] ∣ p ′ ( 1 ) = 0 , p ( 1 ) = 0 } הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר א
תת-מרחב בסיס מימד סכום מרחבים חיתוך פולינומים
א. (12 נק') יהיו p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , p 3 ( x ) ∈ R 3 [ x ] פולינומים שונים זה מזה. נתון שמתקיים p 1 ( 1 ) = p 2 ( 1 ) = p 3 ( 1 ) = 0 . הוכיחו שהקבוצה { p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , p 3 ( x )} תלויה לינארית. ב. (13 נק') תהי T : R 2 → R 2 העתקה לינארית, T = 0 (כלומר T אינה העתקת האפס). נתון ש- Im T ∩ Ker T = { 0 } . 1. חשבו את dim Im T . 2. הוכיחו כי T 2 = 0 .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 84 · 2024 · סמסטר א
פולינומים תלות לינארית גרעין תמונה מימד משפט הדרגה-אפס העתקה לינארית חד-חד-ערכי חזקות מטריצה הוכחה
שאלות פולינומים באלגברה לינארית 1 עם פתרונות שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא פולינומים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא פולינומים.