כמה שאלות משפט הדרגה-אפס יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות משפט הדרגה-אפס באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משפט הדרגה-אפס לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

משפט הדרגה-אפס הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משפט הדרגה-אפס הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - משפט הדרגה-אפס

Q: איך לתרגל שאלות משפט הדרגה-אפס באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות משפט הדרגה-אפס באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של העתקה לינארית

רמת קושי:

יהי

V

מ"ו נוצר סופית ותהיינה

T, S : V \to V

ה"ל. הוכיחו כי:

dim (ker (T S)) \leq dim (ker T) + dim (ker S) .

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

גרעיןהרכבת העתקותמימדמשפט הדרגה-אפסהוכחה

נסחו והוכיחו את משפט הדרגה להעתקות לינאריות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתאוניברסיטת בר-אילן2025 סמסטר א מועד א | 2025 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמימדמשפט הדרגה-אפסהוכחה

יהי

B

בסיס סדור של המרחב הלינארי

R_{3} [x]

ויהי

C

בסיס סדור של המרחב הלינארי

R^{3}

. תהיינה

T : R_{3} [x] \to R^{3}

ו־

S : R^{3} \to R_{3} [x]

העתקות לינאריות. נתון ש־

dim Im S T < dim Im S

.

כמו כן, המטריצות המייצגות את ההעתקות

S

ו־

S T

הן:

[S T]_{B} = a + 1 11 12 - a 01 - 1, [S]_{B}^{C} = 2 - a 3 - 2 a 1 10 - 1 011, a \in R

א. (13 נק') מצאו את כל הערכים של

a

המקיימים את כל תנאי השאלה.

ב. (12 נק') בסעיף זה הציבו

a = 1

במטריצות המייצגות הנתונות, וענו על הסעיפים הבאים:

1. מצאו את

[T]_{C}^{B}

, המטריצה שמייצגת את ההעתקה

T

לפי הבסיסים

B

ו־

C

.

2. הוכיחו שמתקיים

Ker T = Ker S T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצת ייצוגדטרמיננטהדרגהגרעיןתמונההעתקה לינאריתהרכבת העתקותמטריצה הפיכהמשפט הדרגה-אפסהוכחה

א. (12 נק') תהי

B \in M_{n} (R)

מטריצה נתונה, ותהי

U

תת-קבוצה של

M_{n} (R)

המוגדרת על ידי:

U = {X \in M_{n} (R) ∣ X B = X}

1. הוכיחו ש-

U

תת-מרחב לינארי של

M_{n} (R)

.

2. הוכיחו שאם המטריצה

B

לא הפיכה אז כל מטריצה

X \in U

לא הפיכה.

ב. (13 נק') תהי

T : R^{3} \to R^{3}

העתקה לינארית,

T \neq = 0

(כלומר

T

אינה העתקת האפס). נתון ש

dim Ker T > dim Im T

. הוכיחו שמתקיימות אחת משתי האפשרויות הבאות:

(1)

T^{2} = 0

או (2)

Im T \oplus Ker T = R^{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפססכום ישרמימדחזקות מטריצהתת-מרחבמטריצה הפיכההוכחה

א. (15 נק') יהיו

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \in R^{4}

וקטורי עמודה כלשהם במרחב

R^{4}

.

נגדיר

B = (v_{1} ∣ v_{2} ∣ v_{3} ∣ v_{4})

ו-

A = (v_{1} ∣ v_{2} ∣ v_{3})

. כלומר, עמודות המטריצה

B

הם הווקטורים

v_{1}, v_{2}, v_{3}

ו-

v_{4}

, ועמודות המטריצה

A

הם הווקטורים

v_{1}, v_{2}

ו-

v_{3}

.

1. האם קיימים וקטורים

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}

כך שהמטריצה

B

הפיכה ולמערכת

A x = v_{4}

יש פתרון? אם כן, מצאו דוגמה מתאימה. אם לא, הוכיחו שלא קיימים וקטורים כאלו.

2. הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם למערכת

A x = v_{4}

אינסוף פתרונות אז

ρ (B) \leq 2

.

ב. (10 נק') יהי

V

מרחב לינארי נוצר סופית מעל שדה

F

, ותהיינה

T, S : V \to V

העתקות לינאריות. נתון שמתקיים

dim Im T = dim Im S T

, הוכיחו ש-

Ker S \cap Im T = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

מטריצותדרגהמרחב עמודותמערכת משוואותגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסהעתקה לינאריתהרכבת העתקותהוכחהחיתוך

א. (15 נק') יהי

V

מרחב לינארי מממד 3 ויהיו

B = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

ו־

C = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

בסיסים סדורים של המרחב

V

. נתון

u_{1} = v_{1} + v_{2} + v_{3}

ו־

u_{2} = a v_{2}

, כאשר

a \in R

.
מצאו את

a

ואת מטריצת המעבר

M

מהבסיס

B

לבסיס

C

אם נתון ש־

M^{2} = I

(רשמו את שתי האפשרויות).

ב. (10 נק') יהיו

U

ו־

W

תת־מרחבים של מרחב לינארי נוצר סופית, ותהי

T : U \to W

העתקה לינארית. נתון

ker T + Im (T) = W

ו־

dim U > dim W

. הוכיחו

U \cap W \neq = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מעבר בסיסיםמטריצה הפיכהחזקות מטריצההעתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסמשפט המימדהוכחה

א. (12 נק') נתונות מטריצות ריבועיות המקיימות

A^{2} = I - A B

.
הוכיחו שאם המטריצה

I - A

לא הפיכה אז המטריצה

B

לא הפיכה.

ב. (13 נק') תהי

A

מטריצה ריבועית לא הפיכה מסדר

n

. הוכיחו שקיים

b \in R^{n}

כך שאין פתרון למערכת

A x = b

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה הפיכהדטרמיננטהמערכת משוואותתמונהדרגההוכחהמשפט הדרגה-אפס

א. (15 נק') יהי

B = (b_{1} = 1, b_{2} = x + 1, b_{3} = x^{2} - x + 1)

בסיס (סדור) של

R_{3} [x]

, ותהי

T : R_{3} [x] \to R_{3} [x]

העתקה לינארית המוגדרת על־ידי:

T (1) = - x, T (x) = x^{2} + 3, T (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x + 9

1. מצאו את

[T]_{B}

.

2. מצאו את כל הפולינומים

p (x)

ב־

R_{3} [x]

המקיימים

T^{2} (p (x)) = T (p (x))

.

ב. (10 נק') תהיינה

A, B, C

מטריצות ריבועיות מסדר

n

. נתון ש־

A B C = O

ושהמטריצה

B

הפיכה. הוכיחו

ρ (A) + ρ (C) \leq ρ (B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 96 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצת ייצוגהעתקה לינאריתגרעיןדרגהמטריצה הפיכהמשפט הדרגה-אפסבסיסמעבר בסיסיםהוכחה

א. (10 נק') תהיינה

A

ו-

B

מטריצות ריבועיות מאותו הסדר מעל השדה

R

. נתון שהמטריצות

A + B

ו-

A

דומות.

הוכיחו כי

tr (B^{2}) + 2 tr (A B) = 0

.

ב. (15 נק') יהיו

v_{1}, v_{2}, v_{3} \in R^{3}

וקטורים שונים מאפס ותהי

A \in M_{3} (R)

מטריצה המקיימת:

A v_{1} = 111, A v_{2} = 123, A v_{3} = 000

1. הוכיחו שהקבוצה

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

בסיס של

R^{3}

.

2. תהי

B \in M_{3} (R)

מטריצה המקיימת

B v_{i} = A v_{i}

לכל

1 \leq i \leq 3

. הוכיחו

A = B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

עקבהמטריצותהוכחהבסיסתלות לינאריתהעתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסדרגה

האם קיימת הע"ל

T : R^{3} \to R_{2} [x]

כך ש-

ker T = sp ⎩ ⎨ ⎧ 111 ⎭ ⎬ ⎫, Im T = sp {1 + x, 1 - x^{2}}

הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמימדמשפט הדרגה-אפס

שאלות משפט הדרגה-אפס באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא משפט הדרגה-אפס ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משפט הדרגה-אפס.