כמה שאלות מטריצת ייצוג יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצת ייצוג באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצת ייצוג לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

מטריצת ייצוג הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצת ייצוג הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - מטריצת ייצוג

Q: איך לתרגל שאלות מטריצת ייצוג באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצת ייצוג באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של העתקה לינארית

רמת קושי:

תהי

T : R^{3} \to R^{3}

המקיימת

Im T = sp ⎩ ⎨ ⎧ 111 ⎭ ⎬ ⎫, ker T = sp ⎩ ⎨ ⎧ 111, 100 ⎭ ⎬ ⎫

א. מצאו במפורש דוגמה ל-

T

כזו.

ב. תהי

T : R^{3} \to R^{3}

המקיימת

Im T \subseteq ker T

(לאו דווקא זו מהסעיף הקודם). הוכיחו כי קיים בסיס

E

ל-

R^{3}

כך ש-

[T]_{E}^{E}

היא מהצורה

000000 * 00

(ה-

*

יכולה גם להיות 0).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהמטריצת ייצוגבסיס

יהי

V

מ"ו ממימד סופי מעל שדה

F

. ויהיו

U, W

תתי מרחבים של

V

כך ש-

U \oplus W = V

. נגדיר את העתקת השיקוף של

W

ביחס ל-

U

באופן הבא:

R_{U, W} (u + w) = u - w

א.
i. הוכיחו כי

R_{U, W}

אכן הע"ל.
ii. מצאו את התמונה והגרעין של

R_{U, W}

.

ב. יהי

V

מ"ו ממימד סופי מעל שדה

R

. ותהי

T : V \to V

הע"ל המקיימת

T^{2} = I d

. נגדיר:

U := {v \in V ∣ T (v) = v}, W := {v \in V ∣ T (v) = - v}

i. הוכיחו כי

U \oplus W = V

.
ii. הוכיחו כי

T

היא העתקת שיקוף של

W

ביחס ל-

U

.
iii. הוכיחו שקיים בסיס סדור

B

ל-

V

כך ש-

[T]_{B}^{B}

אלכסונית וכל אחד מאיברי האלכסון שלה שייך לקבוצה

{- 1, 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתהטלהגרעיןתמונהסכום ישרמטריצת ייצוגבסיסהוכחה

נגדיר יהי

B := {(11), (- 1 1)}

, ותהי

T : R^{2} \to R^{2}

הע"ל כך ש-

[T]_{B}^{B} = (1010)

. מצאו בסיס ומימד ל-

ker T

Im T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצת ייצוגהעתקה לינאריתגרעיןתמונהבסיסמימד

כמה העתקות לינאריות יש

T : R^{3} \to R^{3}

המקיימות:

T 10 - 1 = 211, T 121 = 111, T 222 = 322 ?

הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

העתקה לינאריתבסיסמטריצת ייצוגהוכחה

יהי

B = (x^{2} + x + 1, x^{2} + x, x^{2})

בסיס סדור למרחב

R_{2} [x]

, ו-

A = 147 a 5 4 a 369

תהי

T : R_{2} [x] \to R_{2} [x]

העתקה לינארית המקיימת

[T]_{B}^{B} = A

. ידוע ש-

T

אינה איזומורפיזם. מצאו את

a

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

דטרמיננטהאיזומורפיזםמטריצת ייצוג

יהיו

V, W

מ"ו נ"ס ותהי

T : V \to W

הע"ל. ויהיו

B, C

בסיסים סדורים ל-

V, W

בהתאמה.
הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה

A

כך שלכל

v \in V

מתקיים

A [v]_{B} = [T (v)]_{C}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצת ייצוגהעתקה לינאריתבסיסהוכחה

העתקה לינארית

T : R [x]_{\leq 2} \to R [x]_{\leq 2}

מוגדרת על ידי

T (p (x)) = p (x + 1) - p (0) \cdot x^{2} - p (1) \cdot (x + 1)

.
מצאו בסיס לגרעין ובסיס לתמונה של

T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתגרעיןתמונהבסיסמטריצת ייצוגפולינומים

יהי

B = (x^{2} + x + 1, x^{2} + x, x^{2})

בסיס ל-

R_{2} [x]

ו-

A = 147258369

(

a = 2

). תהי

T : R_{2} [x] \to R_{2} [x]

עם

[T]_{B}^{B} = A

.

מצאו בסיס ל-

ker (T)

ובסיס ל-

Im (T)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גרעיןתמונהבסיסצמצום שורותמטריצת ייצוג

לכל מטריצה ריבועית

A = (a_{ij})

מסדר

n \times n

מגדירים

tr (A) = a_{11} + \dots + a_{nn}

.

יהי

V

מרחב וקטורי הנוצר סופית, ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית. הראו כי לכל שני בסיסים

C, D

של

V

מתקיים:

tr ([T]_{C}^{C}) = tr ([T]_{D}^{D})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

עקבהמעבר בסיסיםהוכחהמטריצת ייצוג

יהיו

V

מרחב וקטורי מעל

R

B = (v_{1}, v_{2})

ו-

C = (w_{1}, w_{2})

בסיסים של

V

כך שמתקיים

v_{1} = 2 w_{1} - w_{2}

v_{2} = w_{1} - w_{2}

.
תהי

T : V \to V

העתקה לינארית כך ש-

[T]_{B}^{B} = (1201)

. חשבו את

[T]_{B}^{C}

ואת

[T \circ T]_{B}^{C}

.

(הבהרה:

[T]_{B}^{C} = M (T, C, B)

)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מעבר בסיסיםמטריצת ייצוגהעתקה לינאריתהרכבת העתקות

שאלות מטריצת ייצוג באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא מטריצת ייצוג ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצת ייצוג.