מטריצות מערכת משוואות מרחב וקטורי העתקה לינארית ערכים עצמיים פולינומים הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של מרחב וקטורי
תת-מרחב בסיס מימד תלות לינארית פריסה סגירות לכפל מרחב עמודות מרחב שורות סכום ישר סכום מרחבים חיתוך משפט המימד
יהי V מ"ו נוצר סופית ותהי T : V → V ה"ל. תת-מרחב U ⊆ V נקרא T -אינווריאנטי אם T [ U ] ⊆ U (כלומר ∀ u ∈ U : T ( u ) ∈ U ). תהי T : V → V ה"ל. יהיו U , W ⊆ V תת-מרחבים T -אינווריאנטיים. (א) הוכיחו כי U + W הוא גם T -אינווריאנטי.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
תת-מרחב סכום מרחבים הרכבת העתקות הוכחה
יהי V מ"ו נוצר סופית ותהי T : V → V ה"ל. תת-מרחב U ⊆ V נקרא T -אינווריאנטי אם T [ U ] ⊆ U . תהי T : V → V ה"ל. יהיו U , W ⊆ V תת-מרחבים T -אינווריאנטיים. (ב) הוכיחו כי U + W = V ⇐ T [ U ] + T [ W ] = V . (רמז: תחילה הראו כי T [ U ] + T [ W ] = T [ U + W ] .)
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
תת-מרחב סכום מרחבים תמונה הוכחה
יהי V מ"ו נוצר סופית ממימד ≥ 2 ותהיינה T , S : V → V ה"ל. הוכיחו/הפריכו: Im S ⊆ Im T ⇐ Im ( T + S ) ⊆ Im T .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
תמונה סכום מרחבים הרכבת העתקות הוכחה
יהיו U := sp { ( 0 0 0 1 ) , ( 1 0 1 1 ) } , W := { ( a c b d ) a − d = 0 , a + b + c − 2 d = 0 } . מצאו בסיס ומימד ל- U + W ול- U ∩ W . אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
תת-מרחב סכום מרחבים חיתוך בסיס מימד מטריצות
נסחו והוכיחו את משפט המימדים.
אוניברסיטת בר-אילן 2024 סמסטר ב מועד א | 2025 סמסטר א מועד ג | 2025 סמסטר ב מועד א מרחב וקטורי תת-מרחב מימד סכום מרחבים חיתוך משפט המימד הוכחה
מצאו בסיס ומימד עבור U ∩ W ו- U + W , כאשר U , W הם תתי המרחבים הבאים של R 2 [ x ] מעל R : W = sp { 1 + x + x 2 , x + x 2 } U = { p ( x ) ∈ R 2 [ x ] ∣ p ′ ( 1 ) = 0 , p ( 1 ) = 0 } הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב בסיס מימד סכום מרחבים חיתוך פולינומים
יהי V מרחב וקטורי כך ש- dim V = 11 . יהיו U , W , Z תתי-מרחבים וקטוריים של V כך ש- dim Z = 9 , dim U = 6 וגם dim W = 7 . U ∩ W ∩ Z = { 0 V } . הוכיחו כי U + W = V .
האוניברסיטה העברית בוחן · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב מימד סכום מרחבים חיתוך משפט המימד הוכחה
א. (10 נק') יהיו U ו־ V תת־מרחבים של R n . נתון ש־ U ⊥ ∩ V ⊥ = { 0 } . הוכיחו ש־ U + V = R n . ב. (15 נק') נתונה מטריצה A = a 4 4 4 4 2 − 4 2 4 , a ∈ R מצאו את כל הערכים של a עבורם המטריצה A לא לכסינה מעל R . האוניברסיטה הפתוחה מועד 81 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב סכום מרחבים הוכחה מטריצות ערכים עצמיים וקטורים עצמיים לכסון דטרמיננטה דרגה מרחב וקטורי
א. (12 נק') יהי V מרחב לינארי במממד סופי מעל R , ויהיו W , W 1 , W 2 תתי מרחבים של V המקיימים: V = W ⊕ W 1 = W ⊕ W 2 = W 1 + W 2 הוכיחו ש־ V = W 1 ⊕ W 2 אם ורק אם dim V = 2 dim W . ב. (13 נק') נתונה מטריצה שתלויה במשתנה t ∈ R , A t = t − a 4 4 2 t − 4 2 2 2 t − 4 , a ∈ R 1. נתון שקיים ערך של t עבורו ρ ( A t ) = 1 . חשבו את a . 2. הציבו את הערך של a שמצאתם בסעיף 1 ומצאו את כל ערכי t עבורם ρ ( A t ) = 2 . האוניברסיטה הפתוחה מועד 81 · 2025 · סמסטר א
מרחב וקטורי תת-מרחב סכום ישר סכום מרחבים חיתוך מימד משפט המימד הוכחה מטריצות דרגה דטרמיננטה
יהי V מ"ו ממימד סופי. הע"ל נקראת אידמפוטנטית כאשר T 2 = T . T , S : V → V הע"ל אידמפוטנטיות כך שבנוסף גם מתקיים T S = S T . נגדיר K := T + S − T S . א. הוכיחו כי K אידמפוטנטית. ב. הוכיחו כי ker K = ker S ∩ ker T . ג. הוכיחו כי Im K = Im S + Im T . ד. v ∈ Im T מתקיים T ( v ) = v . dim ( Im K ) = dim ( Im T ) + dim ( Im S ) − dim ( Im ( T S )) .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
העתקה לינארית הטלה תמונה גרעין סכום מרחבים הרכבת העתקות הוכחה
שאלות סכום מרחבים באלגברה לינארית 1 עם פתרונות שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא סכום מרחבים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא סכום מרחבים.