כמה שאלות עקבה יש באלגברה לינארית 1?

באתר prepd יש עשרות שאלות עקבה באלגברה לינארית 1 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על עקבה לקראת מבחן באלגברה לינארית 1?

עקבה הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 1. תרגול שאלות ממבחנים בנושא עקבה הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 1 - עקבה

Q: איך לתרגל שאלות עקבה באלגברה לינארית 1?

באתר prepd תמצאו שאלות עקבה באלגברה לינארית 1 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

מטריצות, מרחבים וקטוריים ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מטריצות

רמת קושי:

לכל מטריצה ריבועית

A = (a_{ij})

מסדר

n \times n

נגדיר

tr (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}

.

הוכיחו כי לכל שתי מטריצות ריבועיות

A, B

מאותו סדר מתקיים

tr (A B) = tr (B A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

עקבהכפל מטריצותהוכחה

לכל מטריצה ריבועית

A = (a_{ij})

מסדר

n \times n

מגדירים

tr (A) = a_{11} + \dots + a_{nn}

.

יהי

V

מרחב וקטורי הנוצר סופית, ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית. הראו כי לכל שני בסיסים

C, D

של

V

מתקיים:

tr ([T]_{C}^{C}) = tr ([T]_{D}^{D})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב' · 2025 · סמסטר א

★★★★★

עקבהמעבר בסיסיםהוכחהמטריצת ייצוג

תהיינה

A, B \in R^{n \times n}

כך ש-

A

הפיכה וכך ש-

(A + B)^{2} = A^{2} + B^{2}

. הוכיחו/הפריכו:

א.

B = 0

.

ב.

tr (B) = tr (- B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותמטריצה הפיכהעקבהכפל מטריצותהוכח או הפרך

א. (15 נק') תהיינה

A, B \in M_{3} (C)

המטריצות הבאות:

A = a 0 a - a a^{2} 0 a - 1 - a a, B = a^{2} - a - a - 2 a 0 - 2 a a a 2 a, a \in C

מצאו את כל הערכים של

a

עבורם המטריצות

A

ו-

B

דומות.

ב. (10 נק') תהי

T : R^{n} \to R^{n}

העתקה לינארית.

הוכיחו שאם

Ker T = (Im T)^{⊥}

אז

Ker T = Ker (T^{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותדטרמיננטהעקבהערכים עצמייםפולינומיםהעתקה לינאריתגרעיןתמונהסכום ישרהוכחה

הערה: הנתונים הבאים מתייחסים לכל סעיפי השאלה.

נתונות מטריצות ריבועיות

A

ו־

C

מסדר

n

. נגדיר תת־קבוצה של

M_{n} (R)

על ידי:

U = {X \in M_{n} (R) ∣ A X + X A = C}

א. (13 נק') תהי מטריצה

B \in U

ונתון שהמטריצות

B

ו־

C

מתחלפות.

1. הוכיחו שהמטריצות

A

ו־

B^{2}

מתחלפות.

2. נתון בנוסף שהמטריצה

A

הפיכה וש־

B^{2} \in U

. הוכיחו

tr (B^{2}) = tr (B)

.

ב. (12 נק') ללא קשר לנתוני סעיף א. מצאו את כל המטריצות

C

עבורן הקבוצה

U

תת־מרחב לינארי של

M_{n} (R)

. יש להוכיח שבמקרים אלו אכן הקבוצה

U

היא תת־מרחב לינארי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותעקבהתת-מרחבהוכחהמטריצה הפיכהכפל מטריצות

א. (10 נק') תהיינה

A

ו-

B

מטריצות ריבועיות מאותו הסדר מעל השדה

R

. נתון שהמטריצות

A + B

ו-

A

דומות.

הוכיחו כי

tr (B^{2}) + 2 tr (A B) = 0

.

ב. (15 נק') יהיו

v_{1}, v_{2}, v_{3} \in R^{3}

וקטורים שונים מאפס ותהי

A \in M_{3} (R)

מטריצה המקיימת:

A v_{1} = 111, A v_{2} = 123, A v_{3} = 000

1. הוכיחו שהקבוצה

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

בסיס של

R^{3}

.

2. תהי

B \in M_{3} (R)

מטריצה המקיימת

B v_{i} = A v_{i}

לכל

1 \leq i \leq 3

. הוכיחו

A = B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

עקבהמטריצותהוכחהבסיסתלות לינאריתהעתקה לינאריתגרעיןתמונהמשפט הדרגה-אפסדרגה

א. (12 נק') תהיינה

A, B \in M_{n} (R)

מטריצות המקיימות

A B - B A = A

.

הוכיחו ש-

tr (A) = 0

וגם ש-

det A = 0

.

להזכירכם, הגדרה 10.7.4 –

tr (A)

היא העקבה של מטריצה

A

.

ב. (13 נק') נתונה מטריצה

A = 200 - a a + 3 - a - 2 1 - a a 1 - a, a \in R

1. הוכיחו כי לכל ערך של

a

המטריצה

A

לכסינה.

2. חשבו

det A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 82 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצותעקבהדטרמיננטההוכחהערכים עצמייםפולינומיםמטריצת בלוקיםכפל מטריצות

נתונים

U, V, W

תת-מרחבים של מרחב לינארי נוצר סופית.

א. (13 נק')

1. נסמן

T = U + V + W

. הראו שמתקיים

dim T = dim U + dim V + dim W - dim (U \cap V) - dim ((U + V) \cap W)

2. נתון בנוסף שמתקיים

dim ((U + V) \cap W) < dim (U \cap (V + W))

. הוכיחו ש-

U \cap V \neq = {0}

.

ב. (12 נק') תהיינה

A, B \in M_{3} (R)

כך ש-

ρ (A) = ρ (B) = 1

ו-

tr (A) = tr (B) = 2

. הוכיחו שהמטריצות

A

ו-

B

דומות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 89 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב וקטוריתת-מרחבמימדסכום מרחביםחיתוךמשפט המימדהוכחהערכים עצמייםמטריצותדרגהעקבההוכח או הפרך

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

המקיימת

A^{2} - A = 0

. אזי

tr (A) = n

או

A = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2022 · סמסטר א

★★★★★

עקבהמטריצותהוכח או הפרךדוגמה נגדית

תוות המטריצות הבאות מעל

R

A = 1000200030004000, B = 00000000 11 - 3 0 0000, C = 1 - 1 0 - 2 2 - 2 0 - 2 3 - 3 0 - 2 4 - 4 0 - 2, D = 1 - 1 2 - 2 2 - 2 4 - 4 3 - 3 6 - 6 4 - 4 8 - 8

א. רק

B

ו-

D

דומות.

ב. רק

A

ו-

D

דומות.

ג. רק

B

ו-

C

דומות.

ד. אף תשובה לא נכונה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2019 · סמסטר א

★★★★★

מטריצותדרגהעקבהערכים עצמייםדטרמיננטההוכחה

שאלות עקבה באלגברה לינארית 1 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 1 בנושא עקבה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא עקבה.