איך לתרגל שאלות אופרטור צמוד באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטור צמוד באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטור צמוד יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטור צמוד באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטור צמוד לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

אופרטור צמוד הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטור צמוד הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - אופרטור צמוד

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

תהי

A = 0 - a - b a 0 - c b c 0 \in M_{3} (R)

.

(א) הוכיחו כי

A

ניתנת ללכסון מעל

R

אם ורק אם

a = b = c = 0

.

(ב) מצאו מטריצה אלכסונית ב-

M_{3} (C)

אשר דומה ל-

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםפולינום אופייניהוכחהאופרטור צמודמטריצה אנטי-סימטרית

נתבוננ ב-

R^{3}

עם המ"פ הבאה:

⟨ x_{1} y_{1} z_{1}, x_{2} y_{2} z_{2} ⟩ := \frac{1}{4} x_{1} x_{2} + \frac{1}{4} y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

ונגדיר

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי

T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z

א. (9 נקודות) האם

T

צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד).

ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של

T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור צמודמכפלה פנימיתצורת ז'ורדןערכים עצמייםמשפט הספקטרלילכסון

נסחו והוכיחו קריטריון נורמליות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתאוניברסיטת בר-אילן2024 סמסטר א מועד ב | 2025 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטור נורמליאופרטור צמודהוכחה

יהי

V

ממ"פ מעל

C

ונגדיר

W = V \times V

ואת

⟨(u, v), (u^{'}, v^{'}) ⟩_{2} = ⟨ u, u^{'} ⟩ + ⟨ v, v^{'} ⟩

.

(א) הראו כי

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{2}

היא מכפלה פנימית ב-

W

.

(ב) בהינתן העתקה לינארית

T : V \to V

נגדיר את

S : W \to W

על ידי

S (u, v) = (i T v, - i T^{*} u)

. הראו כי

S

צמודה לעצמה.

(ג) מצאו את הקשר בין הע"ע והו"ע של

S

לבין הע"ע והו"ע של

T^{*}

ושל

T T^{*} T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתאופרטור צמודערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכחה

יהי

V

מ"מ ממ"פ נ"ס מעל

C

. לכל

x, y \in V

נגדיר הע"ל

T_{x y} : V \to V

באופן הבא:

\forall v \in V T_{x y} (v) := ⟨ v, x ⟩ y

א. (9 נקודות) יהיו

x, y \in V

. מצאו את

T_{x y}^{*}

במפורש (כלומר, למה שווה

T_{x y}^{*} (v)

עבור

v

שרירותי ב-

V

). הוכיחו.

ב. (8 נקודות) יהיו

x, y \in V

. הוכיחו כי:

T_{x y}

צל"ע אם ורק אם קיים

α \in R

(ממשי) כך ש-

x = α y

או

y = α x

.

ג. (8 נקודות) יהי

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}

בסיס או"נ של

V

. הוכיחו כי לכל

v \in V

מתקיים:

v = i = 1 \sum n ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i}

ד. (8 נקודות) תהי

T : V \to V

הע"ל. נסמן ב-

k

את המימד של

Im T

(נניח

k \geq 1

). הוכיחו כי קיימות

k

הע"ל מהצורה

T_{x_{1} y_{1}}, \dots, T_{x_{k} y_{k}}

כך ש:

T = T_{x_{1} y_{1}} + \dots + T_{x_{k} y_{k}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודבסיס אורתונורמלימכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתהעתקה לינאריתהוכחהמימד

יהי

V

מ"מ ממ"פ נ"ס מעל

C

, ותהי

T : V \to V

הע"ל המקיימת

T^{*} = T^{2} + T + I

.

הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף):

א.

T

צל"ע

ב.

T

לא צל"ע

ג. לכל

λ \in C

מתקיים:

λ

ע"ע של

T

עם ו"ע

v

⟺

\overset{ˉ}{λ}

ע"ע של

T^{*}

עם ו"ע

v

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור נורמליאופרטור צמודאופרטור הרמיטיערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרך

פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב):

(א) תהי

A \in M_{n} (R)

. נסמן

R [A] := {f (A) ∣ f \in R [x]}

. הראו כי

dim_{R} R [A] \leq n

.

(ב) תהיינה

A, B \in M_{2} (R)

. הראו כי

M_{2} (R) \neq = {f (A) + g (B) : f, g \in R [x]}

.

(ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן

H

עבורן

i H + I

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קיילי-המילטוןמימדמרחב וקטוריפולינום אופיינימטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםלכסוןאופרטור צמודאופרטור אוניטרי

יהי

V

מ"מ ממימד סופי מעל

R

. ויהי

T : V \to V

אופרטור אנטי-צל"ע, כלומר

T = - T^{*}

. הוכיחו/הפריכו:

א.

T

לכסין

ב.

T^{2}

לכסין

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודלכסוןערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדיתאופרטור הרמיטי

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית מעל

R

ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית המקיימת

T^{*} = - T

.
(א) הוכיחו כי

T^{*} T = T (- T) = - T^{2}

ו-

T T^{*} = (- T) T = - T^{2}

, ולכן

T

נורמלי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור צמודאופרטור נורמלימרחב מכפלה פנימית

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית מעל

R

ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית המקיימת

T^{*} = - T

. נגדיר

S : V \to V

על ידי

S (x) = x + a T (x)

עבור

a \in R

.
(ב) הוכיחו כי

S

הפיכה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור צמודהעתקה לינאריתמרחב מכפלה פנימית

שאלות אופרטור צמוד באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא אופרטור צמוד ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטור צמוד.