איך לתרגל שאלות ריבוי אלגברי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות ריבוי אלגברי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות ריבוי אלגברי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות ריבוי אלגברי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על ריבוי אלגברי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

ריבוי אלגברי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא ריבוי אלגברי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - ריבוי אלגברי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של ערכים עצמיים

רמת קושי:

תהי

A \in C^{5 \times 5}

כך ש

(A - 2 I)^{2} (A^{2} + I) = 0

וכן

rank (A - 2 I) = 2

. מצאו את צורת/צורות הז'ורדן האפשריות ל-

A

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםפולינום מינימליריבוי אלגבריריבוי גיאומטרי

יהי

V = R_{2} [x]

ויהיו

a, b \in R

. נגדיר

T : V \to V

על ידי:

\forall p (x) \in V : T (p (x)) = p (a + b x)

לאילו ערכי

a, b

מתקיים

T

לכסינה?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםריבוי גיאומטריריבוי אלגבריפולינום אופיינימרחב וקטורי

תהי

A \in R^{n \times n}

עם

n

ע"ע ממשיים שונים, ותהי

B \in R^{n \times n}

הפיכה המתחלפת עם

A

(כלומר

A B = B A

).

א. (9 נקודות) יהי

v

ו"ע של

A

. הוכיחו ש-

B v

גם הוא ו"ע של

A

.

ב. (12 נקודות) האם

B

לכסינה מעל

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריהוכחה

יהי

F

שדה.

(א) יהי

p (x) = x^{n} + \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} x^{j} = \prod_{k = 1}^{m} (x - λ_{k})^{d_{k}} \in F [x]

פולינום כאשר

λ_{i} \neq = λ_{j}

עבור

i \neq = j

. קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה:

01 - a_{0} 01 - a_{1} ⋱ ⋱ ⋮ 01 - a_{n - 2} - a_{n - 1}

(ב) נניח כי השדה

F

הוא בן

k

איברים ויהי

k \geq n

. הראו כי המטריצה

A \in M_{n} (F)

הנתונה על ידי

A = 01101 0 ⋱ ⋱ ⋮ 01 00

איננה לכסינה מעל

F

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןפולינום אופייניערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריריבוי גיאומטריצורת ז'ורדןהוכחה

הוכיחו את המשפט הבא: תהי

A

מטריצה ריבועית. אז מתקיים

g m_{A} (λ) \leq a m_{A} (λ)

לכל ע"ע

λ

של

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

ריבוי אלגבריריבוי גיאומטריערכים עצמייםהוכחה

יהי

φ : C^{n} \to C^{n}

אופרטור ליניארי כך ש-

de g m_{φ} (x) < n

. הוכיחו שקיימים אינסוף תתי-מרחבים אינווריאנטיים ביחס ל-

φ

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

פולינום מינימליפולינום אופייניערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריריבוי גיאומטריתת-מרחב אינווריאנטיהוכחהצורת ז'ורדן

האם המטריצה הבאה לכסינה? נמקו היטב:

A = 111 ⋮ 1 01110111 \dots \dots \dots ⋱ \dots 011 ⋮ 1 \in R^{10 \times 10}

(שורה 1 היא

(1, 0, \dots, 0)

; שורות 2–10 הן

(1, 1, \dots, 1)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםוקטורים עצמייםריבוי אלגבריריבוי גיאומטרידרגה

תהא

A \in R^{9 \times 9}

המקיימת:

A^{3} = 0

ובנוסף

rank (A^{2}) = 2

. מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיריבוי אלגבריריבוי גיאומטרי

סעיף א' (10 נק')

שלושה חברים ישבו והרהרו באלגוריתם ללכסון יוניטרי של ה"ל נורמלית ולכסינה

T : V \to V

.

• אמר איל: צריך למצוא בסיס עצמי

B

של

V

(כלומר לבצע לכסון רגיל של

T

) ואז לבצע גרם-שמידט על

B

לקבלת בסיס עצמי א"נ.

• אמר אריאל: צריך בנפרד למצוא לכל ע"ע

λ_{i}

של

T

בסיס א"נ של התמ"ו העצמי

E_{T} (λ_{i})

(כלומר לבצע גרם-שמידט

k

פעמים כשיש

k

ע"ע שונים), ואיחוד של כל הבסיסים הללו הוא בסיס עצמי א"נ.

• אמר יהב: שניכם צודקים, כלומר שתי השיטות תעבודנה (עבור

T

נורמלית).

מי מהם צודק? הסבירו.

סעיף ב' (10 נק')

חשבו את המטריצה הממשית

1 - 1 0 211 - 4 0 - 1^{2023}

סעיף ג' (10 נק')

תהי

M \subset M_{2} (R)

קבוצת המטריצות מסדר 2 שבכל תא שלהן יש

\pm 1

, כלומר

M = {(α γ β δ) : α^{2} = β^{2} = γ^{2} = δ^{2} = 1}

כמה מבין

∣ M ∣ = 16

המטריצות הן לכסינות מעל

R

? כמה מהן ניתנות לשילוש מעל

R

אך אינן לכסינות מעל

R

? הסבירו ונמקו את תשובתכם.

סעיף ד' (10 נק')

יהי

V

ממ"פ, תהי

T : V \to V

ה"ל, ויהי

W

תמ"ו של

V

שהוא

T

־אינווריאנטי. הוכיחו כי

W^{⊥}

הוא

T^{*}

־אינווריאנטי.

יש להשתמש ישירות בהגדרות ולא להסתמך על טענות אחרות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונליאופרטור נורמליתהליך גרם-שמידטבסיס אורתונורמלימרחב עצמיפולינום אופייניערכים עצמייםלכסוןצורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיקיילי-המילטוןפולינום מינימליאופרטור צמודתת-מרחב אינווריאנטימשלים אורתוגונליריבוי אלגבריריבוי גיאומטריהוכחה

תהא

A \in C^{5 \times 5}

כך ש-

\forall i, j : A_{i, j} \in R

, המקיימת:

$rank (A) = 3$
המטריצה $A - (1 + i) I$ לא הפיכה
$tr (A) = 0$

א. (10 נק') מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של

A

(עד כדי סדר הבלוקים).

ב. (8 נק') נגדיר פולינום

f (x) = x^{2} - 9 x + 20

. האם המטריצה

f (A)

הפיכה? נמקו היטב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםריבוי אלגבריריבוי גיאומטריפולינום אופייניעקבהדרגהקיילי-המילטון

שאלות ריבוי אלגברי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא ריבוי אלגברי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא ריבוי אלגברי.