איך לתרגל שאלות צורה ביליניארית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות צורה ביליניארית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות צורה ביליניארית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות צורה ביליניארית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על צורה ביליניארית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

צורה ביליניארית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא צורה ביליניארית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - צורה ביליניארית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של צורה ביליניארית

רמת קושי:

נגדיר פונקציה

p : R^{3} \to R

על ידי

p (x) = 2 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו מטריצה סימטרית

A

כך ש-

p (x) = x^{t} A x

, לכל וקטור

x \in R^{3}

. האם הפונקציה

F : R^{3} \times R^{3} \to R

המוגדרת על ידי

F (x, y) = \frac{1}{2} (p (x + y) - p (x) - p (y))

מהווה מכפלה פנימית במרחב

R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתצורה ביליניאריתמכפלה פנימיתמטריצה סימטריתאופרטור חיובי

נתונות שתי הצורות הריבועיות

f, g : R^{3} \to R

על ידי:

f (x, y, z) = 2 (x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} + x y + y z + z x)

g (x, y, z) = - x^{2} + 4 y^{2} - 3 z^{2} + 8 x y + 4 y z + 4 x z

האם המטריצות

[f]_{E}

ו-

[g]_{E}

חופפות למטריצה

[f]_{E}

? מצאו תת-מרחב

W \subseteq R^{3}

ממימד מקסימלי כך שמתקיים

g (w) \geq 0

לכל

w \in W

. הוכיחו!

הערה:

E

מציין את הבסיס הסטנדרטי של

R^{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה85 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתצורה ביליניאריתלכסוןערכים עצמייםמטריצה סימטריתהוכחה

הגדירו פונקציה

f : R^{2} \times R^{2} \to R

על ידי:

f (x, y) = x_{1} y_{1} + 16 x_{2} y_{2} + 4 x_{1} y_{2} + 4 x_{2} y_{1}

לכל

x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) \in R^{2}

.

הוכיחו ש-

f

תבנית בילינארית סימטרית. הציגו את התבנית הריבועית המשוחכת ל-

f

.

מצאו בסיס שבו

f

מיוצגת על-ידי מטריצה אלכסונית. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה86 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ביליניאריתצורה ריבועיתלכסוןמטריצת ייצוגבסיסהוכחה

נגדיר שתי פונקציות

p, q : M_{n \times n}^{R} \to R

על ידי

p (A) = det (A - A^{t})

ו-

q (A) = det (A^{t} + A)

.

בדקו שהפונקציות

p, q

הן פונקציות רב-איברים (פולינומיות) על

M_{n \times n}^{R}

. מצאו את הדרגה ואת הסימטריה של

q

. הוכיחו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ביליניאריתמטריצה סימטריתדטרמיננטההוכחה

יהי

m \in R

. הגדירו תבנית בילינארית סימטרית

f : R^{2} \times R^{2} \to R

על ידי:

f (x, y) = x_{1} y_{1} + m x_{2} y_{2} + 4 x_{1} y_{2} + 4 x_{2} y_{1}

לכל

x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) \in R^{2}

.

א. עבור אילו

m \in R

הפונקציה

f

מהווה מכפלה פנימית במרחב

R^{2}

?

ב. האם קיים

m \in R

כך שהקבוצה

U = {x = (x_{1}, x_{2}) \in R^{2} : f (x, x) = 0}

מהווה תת-מרחב של

R^{2}

?

אם כן, מצאו בסיס ומימד של

U

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה86 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ביליניאריתמכפלה פנימיתצורה ריבועיתמרחב וקטוריתת-מרחב אינווריאנטיערכים עצמייםהוכחה

יהי

a \in R

. תהי צורה בילינארית

f : R^{2} \times R^{2} \to R

המוגדרת על ידי:

f ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1} y_{1} + a x_{2} y_{2} - 4 x_{1} y_{2} - 4 x_{2} y_{1}

מצא בסיס שבו

f

מיוצגת על ידי מטריצה אלכסונית. עבור אילו

a

הפונקציה

f

מהווה מכפלה פנימית? נמק!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה98 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

צורה ביליניאריתמכפלה פנימיתמטריצה סימטריתלכסון

יהי

t \in R

f : R^{3} \times R^{3} \to R

מוגדרת על ידי

f (x, y) = 3 x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} + t x_{3} y_{3} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} - x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2}

לכל

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})

ב-

R^{3}

. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

t

כך ש-

f

מהווה מכפלה פנימית ב-

R^{3}

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה95 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתצורה ביליניאריתמטריצה סימטרית

תהי הצורה הבילינארית הסימטרית

f : R^{3} \times R^{3} \to R

, המוגדרת על ידי

f (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + 2 x_{3} y_{3} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} - x_{1} y_{3} - x_{3} y_{1}

לכל

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})

. סמנו ב-

q

את הצורה הריבועית המשויכת ל-

f

ב-

R^{3}

. הוכיחו כי

0 \leq q (x) \leq 3∥ x ∥^{2}

לכל וקטור

x

ב-

R^{3}

. האם קיים

x \neq = 0

כך ש-

q (x) = 3∥ x ∥^{2}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה95 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ריבועיתצורה ביליניאריתערכים עצמייםמטריצה סימטריתמרחב מכפלה פנימית

תהי

f (x, y) = x^{t} A y

f : R^{n} \times R^{n} \to R

תבנית ביליניארית. תהי

S

תת-קבוצה לא ריקה של

R^{n}

.

א. הראו שהקבוצה

S^{#} = {y \in R^{n} ∣ f (x, y) = 0, \forall x \in S}

מהווה תת-מרחב וקטורי של

R^{n}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה61 · 2022 · סמסטר א

★★★★★

צורה ביליניאריתמרחב וקטוריהוכחה

תהי

f (x, y) = x^{t} A y

f : R^{n} \times R^{n} \to R

תבנית ביליניארית. תהי

S

תת-קבוצה לא ריקה של

R^{n}

.

ב. מצאו את הממד

dim (S^{#})

במצב הפרטי:

n = 3

S = R^{3}

ו-

A = 100020000

נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה61 · 2022 · סמסטר א

★★★★★

צורה ביליניאריתמימדמרחב וקטורי

שאלות צורה ביליניארית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא צורה ביליניארית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא צורה ביליניארית.