איך לתרגל שאלות קיילי-המילטון באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות קיילי-המילטון באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות קיילי-המילטון יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות קיילי-המילטון באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על קיילי-המילטון לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

קיילי-המילטון הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא קיילי-המילטון הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - קיילי-המילטון

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של ערכים עצמיים

רמת קושי:

פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב):

(א) תהי

A \in M_{n} (R)

. נסמן

R [A] := {f (A) ∣ f \in R [x]}

. הראו כי

dim_{R} R [A] \leq n

.

(ב) תהיינה

A, B \in M_{2} (R)

. הראו כי

M_{2} (R) \neq = {f (A) + g (B) : f, g \in R [x]}

.

(ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן

H

עבורן

i H + I

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קיילי-המילטוןמימדמרחב וקטוריפולינום אופיינימטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםלכסוןאופרטור צמודאופרטור אוניטרי

תהי

A \in M_{4 \times 4} (R)

מטריצה שהפולינום המינימלי שלה הוא

m_{A} (x) = (x - 5) (x - 3)

.
(ב) מצאו מטריצה

A

מסדר

4 \times 4

שמקיימת את התנאים, והוכיחו ישירות כי

(A - 5 I) (A - 3 I) = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פולינום מינימליצורת ז'ורדןקיילי-המילטוןנילפוטנטי

נתון כי

A \in M_{3 \times 3} (R)

עם פולינום אופייני

p_{A} (x) = (x - 5)^{2} (x - 3)

ופולינום מינימלי

m_{A} (x) = (x - 5) (x - 3)

.
(ב) מצאו מטריצה

A

שמקיימת את התנאים, והוכיחו כי

(A - 5 I) (A - 3 I) = 0

(כלומר הפולינום המינימלי מאפס את

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פולינום מינימליקיילי-המילטוןערכים עצמייםצורת ז'ורדן

תהא

A \in C^{5 \times 5}

כך ש-

\forall i, j : A_{i, j} \in R

, המקיימת:

rank (A) = 3

, המטריצה

A - (1 + i) I

לא הפיכה, וגם

tr (A) = 0

.

א. (9 נק') מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של

A

(עד כדי סדר הבלוקים).

ב. (8 נק') נגדיר פולינום

f (x) = x^{2} - 9 x + 20

. האם המטריצה

f (A)

הפיכה? נמקו היטב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםפולינום אופייניקיילי-המילטוןהוכחה

יהי

V

מ"ו ממימד

n

מעל שדה

F

. ויהי

T : V \to V

אופרטור לינארי. יהי

α

ע"ע של

T

. נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של

α

K_{α} := ker ((T - α I)^{n}) = {v \in V ∣ (T - α I)^{n} (v) = 0}

(אין צורך להוכיח כי הוא ת"מ ומותר להשתמש בכך.)

ניתן להשתמש בסעיפים קודמים גם אם לא הצלחתם אותם.

א. (5 נק) יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי נילפוטנטי מעל

C

. הוכיחו כי

K_{0} = V

.

ב. (6 נק) יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי מעל

C

בעל ע"ע יחיד

α

. הוכיחו כי

K_{α} = V

.

ג. יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי מעל

C

. ויהיו

α, μ

ע"ע שונים שלו.

i. (7 נק) יהי

v \in K_{α}

. הוכיחו כי

(T - μ I) (v) \in K_{α}

. (רמז: הראו תחילה כי

T - μ I

ו-

T - α I

מתחלפות.)

ii. (6 נק) יהי

0 \neq = v \in K_{α}

. הוכיחו כי

(T - μ I) (v) \neq = 0

.

iii. (10 נק) הוכיחו כי

K_{α} \cap K_{μ} = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםמרחב עצמינילפוטנטיקיילי-המילטוןתת-מרחב אינווריאנטיהוכחה

תהי

A \in R^{n \times n}

המקיימת

A^{2} = - I

rank A = 2

tr (A) = 0

. מצאו את הפולינום המינימלי של

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פולינום מינימליערכים עצמייםקיילי-המילטוןהוכחה

תהי

S : R^{4} \to R^{4}

טרנספורמציה לינארית המוגדרת על ידי:

S (x, y, z, w) = (w, x, y, z)

השתמשו במשפט קיילי-המילטון כדי לבטא את

S^{2023}

בצירוף לינארי של

{I, S, S^{2}, S^{3}}

.

האם

S

טרנספורמציה לינארית להפיכה אורתוגונלית? האם

S

טרנספורמציה לינארית נילפוטנטית? הוכיחו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה85 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

קיילי-המילטוןאופרטור אורתוגונלינילפוטנטיהעתקה לינאריתפולינום אופייניהוכחה

הוכיחו או הפריכו: קיימת מטריצה

A \in C^{n \times n}

המקיימת

A^{3} = J_{3} (0)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיקיילי-המילטוןהוכח או הפרך

תהי

A \in M_{n \times n}^{C}

מטריצה הפיכה כך שקיים ל-

A

ערך עצמי של

A

עם ריבוי גיאומטרי שהוא לפחות 2.

האם הטענה הבאה נכונה:

"קיים פולינום ממשי

Q (x)

ממעלה קטנה או שווה ל-

(n - 2)

כך ש-

A^{- 1} = Q (A)

".

נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה86 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

פולינום מינימליקיילי-המילטוןערכים עצמייםריבוי גיאומטריהוכחה

סעיף א' (10 נק')

שלושה חברים ישבו והרהרו באלגוריתם ללכסון יוניטרי של ה"ל נורמלית ולכסינה

T : V \to V

.

• אמר איל: צריך למצוא בסיס עצמי

B

של

V

(כלומר לבצע לכסון רגיל של

T

) ואז לבצע גרם-שמידט על

B

לקבלת בסיס עצמי א"נ.

• אמר אריאל: צריך בנפרד למצוא לכל ע"ע

λ_{i}

של

T

בסיס א"נ של התמ"ו העצמי

E_{T} (λ_{i})

(כלומר לבצע גרם-שמידט

k

פעמים כשיש

k

ע"ע שונים), ואיחוד של כל הבסיסים הללו הוא בסיס עצמי א"נ.

• אמר יהב: שניכם צודקים, כלומר שתי השיטות תעבודנה (עבור

T

נורמלית).

מי מהם צודק? הסבירו.

סעיף ב' (10 נק')

חשבו את המטריצה הממשית

1 - 1 0 211 - 4 0 - 1^{2023}

סעיף ג' (10 נק')

תהי

M \subset M_{2} (R)

קבוצת המטריצות מסדר 2 שבכל תא שלהן יש

\pm 1

, כלומר

M = {(α γ β δ) : α^{2} = β^{2} = γ^{2} = δ^{2} = 1}

כמה מבין

∣ M ∣ = 16

המטריצות הן לכסינות מעל

R

? כמה מהן ניתנות לשילוש מעל

R

אך אינן לכסינות מעל

R

? הסבירו ונמקו את תשובתכם.

סעיף ד' (10 נק')

יהי

V

ממ"פ, תהי

T : V \to V

ה"ל, ויהי

W

תמ"ו של

V

שהוא

T

־אינווריאנטי. הוכיחו כי

W^{⊥}

הוא

T^{*}

־אינווריאנטי.

יש להשתמש ישירות בהגדרות ולא להסתמך על טענות אחרות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונליאופרטור נורמליתהליך גרם-שמידטבסיס אורתונורמלימרחב עצמיפולינום אופייניערכים עצמייםלכסוןצורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיקיילי-המילטוןפולינום מינימליאופרטור צמודתת-מרחב אינווריאנטימשלים אורתוגונליריבוי אלגבריריבוי גיאומטריהוכחה

שאלות קיילי-המילטון באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא קיילי-המילטון ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא קיילי-המילטון.