ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
תהי A = 0 − a − b a 0 − c b c 0 ∈ M 3 ( R ) . (א) הוכיחו כי A ניתנת ללכסון מעל R אם ורק אם a = b = c = 0 . (ב) מצאו מטריצה אלכסונית ב- M 3 ( C ) אשר דומה ל- A . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה אופרטור צמוד מטריצה אנטי-סימטרית
יהי V = R 2 [ x ] ויהיו a , b ∈ R . נגדיר T : V → V על ידי: ∀ p ( x ) ∈ V : T ( p ( x )) = p ( a + b x ) לאילו ערכי a , b מתקיים T לכסינה?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי ריבוי אלגברי פולינום אופייני מרחב וקטורי
פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב): (א) תהי A ∈ M n ( R ) . נסמן R [ A ] := { f ( A ) ∣ f ∈ R [ x ]} . הראו כי dim R R [ A ] ≤ n . (ב) תהיינה A , B ∈ M 2 ( R ) . הראו כי M 2 ( R ) = { f ( A ) + g ( B ) : f , g ∈ R [ x ]} . (ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן H עבורן i H + I אוניטרית.
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
קיילי-המילטון מימד מרחב וקטורי פולינום אופייני מטריצה הרמיטית מטריצה אוניטרית ערכים עצמיים לכסון אופרטור צמוד אופרטור אוניטרי
יהי F שדה. (א) יהי p ( x ) = x n + ∑ j = 0 n − 1 a j x j = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) d k ∈ F [ x ] פולינום כאשר λ i = λ j עבור i = j . קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה: 0 1 − a 0 0 1 − a 1 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 − a n − 2 − a n − 1 (ב) נניח כי השדה F הוא בן k איברים ויהי k ≥ n . הראו כי המטריצה A ∈ M n ( F ) הנתונה על ידי A = 0 1 1 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 איננה לכסינה מעל F . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי צורת ז'ורדן הוכחה
תהי T : R 2 → R 2 ההעתקה הלינארית T (( x , y )) = ( 3 x + 6 y , − 3 x − 3 y ) . p T ( x ) ואת הערכים העצמיים של T .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני ערכים עצמיים העתקה לינארית
תהי A = ( 5 − 2 8 − 3 ) . p A ( x ) , הפולינום המינימלי m A ( x ) , ואת צורת ז'ורדן J של A .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני פולינום מינימלי צורת ז'ורדן ערכים עצמיים
נתונה A = 2 − 1 0 − 1 1 − 1 0 − 1 2 . נגדיר פונקציה f : R 3 → R על ידי f ( x ) = ⟨ A x , x ⟩ , לכל וקטור x = x 1 x 2 x 3 ∈ R 3 . מצאו את הפולינום האופייני של A . האם f ( x ) ≥ 0 לכל וקטור x ∈ R 3 ? נמקו! האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני ערכים עצמיים צורה ריבועית אופרטור חיובי מטריצה סימטרית
נתון כי A ∈ M 4 × 4 ( R ) עם פולינום אופייני p A ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( b x − x ) , כלומר הערכים העצמיים של A הם 3 , 5 . נתון כי p A ( x ) = ( x − 5 ) 2 ( x − 3 ) ו- m A ( x ) ∈ {( x − 5 ) ( x − 3 ) , ( x − 5 ) 2 ( x − 3 )} . m A ( x ) ואת צורת ז'ורדן של A .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני פולינום מינימלי צורת ז'ורדן ערכים עצמיים
הוכיחו/הפריכו: תהיינה A , B ∈ R 7 × 7 כך ש- A הפיכה ומתקיים A B + B A = 0 , אזי B לא הפיכה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
דטרמיננטה ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה הוכח או הפרך
נגדיר טרנספורמציה לינארית S : M 3 × 3 R → M 3 × 3 R על ידי S ( A ) = − 6 A t , לכל A ∈ M 3 × 3 R . מצאו את הפולינום האופייני של S . האם S צמודה לעצמה? מצאו את צורת ז'ורדן של S . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני צורת ז'ורדן אופרטור צמוד העתקה לינארית מטריצה משוחלפת