תהי A∈Rm×n ויהי λ∈R.
ב. הוכיחו/הפריכו: אם λ=0, אזי λ ערך עצמי של AAt⟺λ ערך עצמי של AtA.
ג. הוכיחו/הפריכו: λ ערך עצמי של AAt⟺λ ערך עצמי של AtA (ללא הנחה על λ).
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב
ערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרךהוכחהדוגמה נגדית
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R. ויהי T:V→V אופרטור אנטי-צל"ע, כלומר T=−T∗. הוכיחו/הפריכו:
א. T לכסין
ב. T2 לכסין
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמודלכסוןערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדיתאופרטור הרמיטי
תהי A∈Fn×n. אזי (A אוניטרית) אמ"מ ( לכל ע"ע שלה λ מתקיים ∣λ∣=1). הוכיחו/הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור אוניטריערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדית
תנו דוגמה למטריצה ממשית A=(αγβδ) עבור α,β,γ,δ=0, כך ש-A ניתנת לשילוש מעל R אבל לא ניתנת ללכסון מעל R. הסבירו בקצרה.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב
לכסוןערכים עצמייםדוגמה נגדית
תהי A∈Cn×n המקיימת A2=I. האם בהכרח A אוניטרית? הוכיחו או הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב
אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתהוכח או הפרךדוגמה נגדית
הוכח או הפרך: תהי A∈Fn×n. אזי, A לכסינה אם ורק אם כל הערכים העצמיים שלה מל"ל שונים.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב
לכסוןערכים עצמייםפולינום אופייניהוכח או הפרךדוגמה נגדית
הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות (6 נקודות לסעיף):
א. תהי A∈Cn×n כך שקיים k המקיים ש-Ak לכסינה. אזי, A לכסינה.
ב. תהי A∈Cn×n אוניטרית. אזי, ∣trA∣≤n.
ג. יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל C. אזי, הקבוצה {T:V→V∣T צמודה לעצמה} מהווה מרחב וקטורי (תת-מרחב של האופרטורים הלינאריים).
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב
לכסוןערכים עצמייםמטריצה אוניטריתעקבהאופרטור הרמיטיהוכח או הפרךדוגמה נגדיתנילפוטנטי
תהיינה A,B∈R3×3, ויהיו v1,v2,v3∈R3 וקטורים בת"ל שכל אחד מהם הוא גם ו"ע של A וגם ו"ע של B. הוכיחו או הפריכו: כל P המלכסנת את A גם מלכסנת את B.
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב
לכסוןערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדית
הוכיחו או הפריכו (6 נקודות לסעיף): יהי V מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל R, ויהי T:V→V אופרטור אנטי-צמוד לעצמו, כלומר T=−T∗.
i. T לכסין.
ii. T2 לכסין.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר ב
אופרטור צמודלכסוןמשפט הספקטרליהוכח או הפרךדוגמה נגדית
יהיו V,W שני מ"ו מעל אותו שדה F, ותהיינה T:V→W ו-S:W→V שתי ה"ל.
א. נניח כי הסקלר λ=0 הוא ע"ע של ההעתקה ST:V→V. הוכיחו כי λ הוא גם ע"ע של ההעתקה TS:W→W.
ב. נניח כי λ=0 הוא ע"ע של ההעתקה ST:V→V וכן מתקיים V=W. הוכיחו כי λ=0 הוא גם ע"ע של ההעתקה TS:V→V.
ג. מצאו דוגמה של מ"ו V,W ושל ה"ל T:V→W, S:W→V עבורן מתקיים ש-λ=0 הוא ע"ע של ההעתקה ST:V→V אבל λ=0 איננו ע"ע של ההעתקה TS:W→W.
אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב
ערכים עצמייםהעתקה לינאריתהוכחהדוגמה נגדית