ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
הוכיחו/הפריכו: אם A ∈ C n × n אוניטרית, אזי ∣ det A ∣ = 1 .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
אופרטור אוניטרי מטריצה אוניטרית דטרמיננטה הוכח או הפרך הוכחה
הגדרה: מטריצה A ∈ R n × n תיקרא סימטרית חיובית אם A סימטרית ובנוסף כל ערך עצמי λ של A מקיים λ > 0 . נתון (ללא הוכחה): לכל מטריצה הפיכה M ∈ R n × n , המטריצה M t M סימטרית חיובית. א. (10 נק') תהא B ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה M ∈ R n × n כך ש M t M = B . ב. (6 נק') תהא B ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שלכל מטריצה הפיכה P ∈ R n × n מתקיים: P t B P סימטרית חיובית. ג. (5 נק') תהא A ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה P ∈ R n × n כך ש P t A P = I . ד.i (8 נק') תהי S ∈ R n × n סימטרית חיובית. הוכיחו det ( I + S ) ≥ det ( I ) + det ( S ) . ד.ii (6 נק') תהיינה A , B ∈ R n × n מטריצות סימטריות חיוביות. הוכיחו det ( A + B ) ≥ det ( A ) + det ( B ) .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
מטריצה סימטרית ערכים עצמיים לכסון אורתוגונלי אופרטור חיובי דטרמיננטה הוכחה
הוכיחו או הפריכו: תהי A ∈ R 2 × 2 המקיימת ∣ A ∣ = 0 וגם A 2 = 0 . אזי A לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
לכסון ערכים עצמיים דטרמיננטה הוכח או הפרך
תהי A = ( x 1 x 3 x 2 x 4 ) מטריצה ממשית 2 × 2 . נגדיר: q ( A ) = det ( A t + A ) , p ( A ) = det ( A − A t ) (א) חשבו את q ( A ) ו- p ( A ) כפונקציות של x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורה ריבועית דטרמיננטה מטריצה סימטרית
הוכיחו/הפריכו: תהיינה A , B ∈ R 7 × 7 כך ש- A הפיכה ומתקיים A B + B A = 0 , אזי B לא הפיכה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
דטרמיננטה ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה הוכח או הפרך
תהי A מטריצה ממשית סינגולרית מסדר 4 × 4 . ידוע שמתקיים ρ ( A + 2 I ) = 2 וגם det ( A − 2 I ) = 0 . מצאו את trace ( A 10 ) + det ( A 10 ) . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
ערכים עצמיים עקבה דטרמיננטה
תהי A מטריצה ממשית סינגולרית מסדר 4 × 4 . ידוע שמתקיים ρ ( A + 2 I ) = 2 וגם det ( A − 2 I ) = 0 . האם הפולינום האופייני של A שווה לפולינום המינימלי של A ?
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
פולינום אופייני פולינום מינימלי ערכים עצמיים דטרמיננטה
תהי A מטריצה ממשית מסדר n × n המקיימת trace ( A ) = 0 ו- ρ ( A ) = 1 . מצאו את הפולינום האופייני ואת הפולינום המינימלי שלה. מצאו את צורת ז'ורדן של A . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 87 · 2024 · סמסטר ב
פולינום אופייני פולינום מינימלי צורת ז'ורדן ערכים עצמיים עקבה דטרמיננטה
נתונות A , B ∈ M 2 ( C ) מטריצות בעלות אותה דרגה ואותה עקבה: ρ ( A ) = ρ ( B ) = 1 , trace ( A ) = trace ( B ) = 0 האם בהכרח A דומה ל- B ? הוכיחו! מצאו את הפולינום האופייני ואת הפולינום המינימלי של A .
האוניברסיטה הפתוחה 85 · 2024 · סמסטר א
ערכים עצמיים פולינום אופייני פולינום מינימלי דטרמיננטה עקבה דוגמה נגדית הוכחה
יהי φ : R 3 → R 3 אופרטור ליניארי במרחב אוקלידי סטנדרטי R 3 אשר בבסיס סטנדרטי מיוצג על ידי המטריצה A = 1/2 1/2 2 /2 1/2 1/2 − 2 /2 − 2 /2 2 /2 0 . (א) הוכח ש- φ איזומטריה. (ב) הוכח ש- φ סיבוב לגבי ציר. מצאו את ציר וזווית הסיבוב. אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2023 · סמסטר ב
איזומטריה אופרטור אוניטרי מטריצה אורתוגונלית סיבוב ציר סיבוב זווית סיבוב ערכים עצמיים וקטורים עצמיים דטרמיננטה עקבה