ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
תהי A = 0 − a − b a 0 − c b c 0 ∈ M 3 ( R ) . (א) הוכיחו כי A ניתנת ללכסון מעל R אם ורק אם a = b = c = 0 . (ב) מצאו מטריצה אלכסונית ב- M 3 ( C ) אשר דומה ל- A . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה אופרטור צמוד מטריצה אנטי-סימטרית
נתבוננ ב- R 3 עם המ"פ הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (9 נקודות) האם T צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד). ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של T . אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור הרמיטי אופרטור צמוד מכפלה פנימית צורת ז'ורדן ערכים עצמיים משפט הספקטרלי לכסון
יהי V = R 2 [ x ] ויהיו a , b ∈ R . נגדיר T : V → V על ידי: ∀ p ( x ) ∈ V : T ( p ( x )) = p ( a + b x ) לאילו ערכי a , b מתקיים T לכסינה?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי ריבוי אלגברי פולינום אופייני מרחב וקטורי
פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב): (א) תהי A ∈ M n ( R ) . נסמן R [ A ] := { f ( A ) ∣ f ∈ R [ x ]} . הראו כי dim R R [ A ] ≤ n . (ב) תהיינה A , B ∈ M 2 ( R ) . הראו כי M 2 ( R ) = { f ( A ) + g ( B ) : f , g ∈ R [ x ]} . (ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן H עבורן i H + I אוניטרית.
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
קיילי-המילטון מימד מרחב וקטורי פולינום אופייני מטריצה הרמיטית מטריצה אוניטרית ערכים עצמיים לכסון אופרטור צמוד אופרטור אוניטרי
תהי A ∈ R n × n עם n ע"ע ממשיים שונים, ותהי B ∈ R n × n הפיכה המתחלפת עם A (כלומר A B = B A ). א. (9 נקודות) יהי v ו"ע של A . הוכיחו ש- B v גם הוא ו"ע של A . ב. (12 נקודות) האם B לכסינה מעל R ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי הוכחה
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R . ויהי T : V → V אופרטור אנטי-צל"ע, כלומר T = − T ∗ . הוכיחו/הפריכו: א. T לכסין ב. T 2 לכסין
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמוד לכסון ערכים עצמיים הוכח או הפרך דוגמה נגדית אופרטור הרמיטי
יהי F שדה. (א) יהי p ( x ) = x n + ∑ j = 0 n − 1 a j x j = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) d k ∈ F [ x ] פולינום כאשר λ i = λ j עבור i = j . קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה: 0 1 − a 0 0 1 − a 1 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 − a n − 2 − a n − 1 (ב) נניח כי השדה F הוא בן k איברים ויהי k ≥ n . הראו כי המטריצה A ∈ M n ( F ) הנתונה על ידי A = 0 1 1 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 איננה לכסינה מעל F . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי צורת ז'ורדן הוכחה
הגדרה: יהי V מ"מ ממימד סופי מעל F , הע"ל T : V → V נקראת אידמפוטנטית אם היא מקיימת T = T 2 . א. (5 נקודות) יהי U ת"מ של V . הוכיחו כי העתקת ההיטל האו"ג ( π U ) היא אידמפוטנטית. ב. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. ב.i. (4 נקודות) האם T בהכרח לכסינה? ב.ii. (6 נקודות) הוכיחו ש- Im T = ker ( I − T ) . ג. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. נניח כי בנוסף T נורמלית. ג.i. (8 נקודות) הוכיחו כי T צמודה לעצמה. ג.ii. (11 נקודות) הוכיחו כי קיים ת"מ W ⊆ V המקיים: ( ∀ w ∈ W : T ( w ) = w ) ∧ ( ∀ u ∈ W ⊥ : T ( u ) = 0 )
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית לכסון אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי משלים אורתוגונלי הוכחה אידמפוטנטי
הוכיחו/הפריכו: תהי A ∈ R n × n כך ש- A 2 = A , אזי tr ( A ) = rank ( A ) .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
ערכים עצמיים לכסון עקבה דרגה הוכחה הוכח או הפרך
הוכיחו או הפריכו: תהי A ∈ R 2 × 2 המקיימת ∣ A ∣ = 0 וגם A 2 = 0 . אזי A לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
לכסון ערכים עצמיים דטרמיננטה הוכח או הפרך