איך לתרגל שאלות מימד באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מימד באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מימד יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מימד באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מימד לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מימד הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מימד הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מימד

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

נתבונן ב

V = R^{4}

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. יהיו

u_{1} := 1111, u_{2} := 1 - 1 1 - 1, u_{3} := 11 - 1 - 1

ונגדיר

U := sp {u_{1}, u_{2}, u_{3}}

.

א. (10 נק') נסמן ב

p

את ההיטל של

v = 2310

על

U

. חשבו את

p

.

ב. (8 נק') עבור

p

מהסעיף הקודם: מצאו וקטור

0 \neq = w \in V

המקיים

∥ w + p ∥^{2} = ∥ p ∥^{2} + ∥ w ∥^{2}

. הוכיחו תשובתכם.

ג. (6 נק') מצאו בסיס ומימד ל

U^{⊥}

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתאורתוגונליותבסיס אורתונורמלימשלים אורתוגונליבסיסמימד

יהי

V

מ"מ ממ"פ נ"ס מעל

C

. לכל

x, y \in V

נגדיר הע"ל

T_{x y} : V \to V

באופן הבא:

\forall v \in V T_{x y} (v) := ⟨ v, x ⟩ y

א. (9 נקודות) יהיו

x, y \in V

. מצאו את

T_{x y}^{*}

במפורש (כלומר, למה שווה

T_{x y}^{*} (v)

עבור

v

שרירותי ב-

V

). הוכיחו.

ב. (8 נקודות) יהיו

x, y \in V

. הוכיחו כי:

T_{x y}

צל"ע אם ורק אם קיים

α \in R

(ממשי) כך ש-

x = α y

או

y = α x

.

ג. (8 נקודות) יהי

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}

בסיס או"נ של

V

. הוכיחו כי לכל

v \in V

מתקיים:

v = i = 1 \sum n ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i}

ד. (8 נקודות) תהי

T : V \to V

הע"ל. נסמן ב-

k

את המימד של

Im T

(נניח

k \geq 1

). הוכיחו כי קיימות

k

הע"ל מהצורה

T_{x_{1} y_{1}}, \dots, T_{x_{k} y_{k}}

כך ש:

T = T_{x_{1} y_{1}} + \dots + T_{x_{k} y_{k}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודבסיס אורתונורמלימכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתהעתקה לינאריתהוכחהמימד

פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב):

(א) תהי

A \in M_{n} (R)

. נסמן

R [A] := {f (A) ∣ f \in R [x]}

. הראו כי

dim_{R} R [A] \leq n

.

(ב) תהיינה

A, B \in M_{2} (R)

. הראו כי

M_{2} (R) \neq = {f (A) + g (B) : f, g \in R [x]}

.

(ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן

H

עבורן

i H + I

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קיילי-המילטוןמימדמרחב וקטוריפולינום אופיינימטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםלכסוןאופרטור צמודאופרטור אוניטרי

נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : M_{2 \times 2}^{R} \to M_{2 \times 2}^{R}

על ידי

T (A) = A + 4 A^{t}

, לכל

A \in M_{2 \times 2}^{R}

.

האם לכל מספר שלם

1 \leq d \leq 4

קיים תת-מרחב

W \subseteq M_{2 \times 2}^{R}

כך ש-

T (W) \subseteq W

ו-

dim W = d

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

תת-מרחב אינווריאנטיהעתקה לינאריתמימד

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית ותהי

q (x) = x^{t} A x

צורה ריבועית. הפולינום האופייני של

A

הוא

p_{A} (x) = x (x - 4) (x - 8)

. נתון כי

W = {x \in R^{3} ∣ q (x) = 0}

.
(ג) מצאו את

W

ואת מימדו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב עצמילכסון אורתוגונלימימד

תהי

A \in M_{2} (R)

. האם הטענה הבאה נכונה?

"קיימת מטריצה

B \in M_{2} (R)

שלה ניתן להצגה כהצגת מתורכבות

P (A) + Q (A^{t})

, כאשר

P (x)

ו-

Q (x)

פולינומים ב-

R [x]

."

הוכיחו!

רמז:

dim M_{2} (R) = 4

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה85 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מטריצת ייצוגמימדמרחב וקטוריבסיסהוכחה

תהי

q (x, y, z) = x^{2} + 6 y^{2} - 2 x y + 4 x z - 4 y z

q : R^{3} \to R

תבנית ריבועית ממשית.

מצאו בסיס לתת-מרחב של

R^{3}

ממימד מקסימלי שעליו

q

היא תבנית חיובית לחלוטין. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה94 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב וקטוריבסיסמימדלכסון

תהי

q : R^{n} \to R

צורה ריבועית חיובית למחצה. הוכיחו כי

W_{0} = {v \in R^{n} ∣ q (2 v) = q (v)}

הוא תת-מרחב של

R^{n}

. נסמן ב-

ρ

את הדרגה של

q

. הוכיחו כי

dim (W_{0}) = n - ρ

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה81 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב וקטוריתת-מרחב אינווריאנטיהוכחהמימד

תהי

A = 110 - 1 - 1 0 001 \in M_{3 \times 3}^{C}

ויהי

p (x) \in C [x]

פולינום כלשהו. האם הממד של המרחב

U = Span {I, p (A), (p (A))^{2}, \dots, (p (A))^{k}, \dots}

קטן או שווה לשלוש? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה81 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

פולינום מינימליקיילי-המילטוןמטריצת ייצוגמימד

תהי

f (x, y) = x^{t} A y

f : R^{n} \times R^{n} \to R

תבנית ביליניארית. תהי

S

תת-קבוצה לא ריקה של

R^{n}

.

ב. מצאו את הממד

dim (S^{#})

במצב הפרטי:

n = 3

S = R^{3}

ו-

A = 100020000

נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה61 · 2022 · סמסטר א

★★★★★

צורה ביליניאריתמימדמרחב וקטורי

שאלות מימד באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מימד ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מימד.