איך לתרגל שאלות מרחב עצמי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מרחב עצמי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מרחב עצמי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מרחב עצמי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מרחב עצמי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מרחב עצמי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מרחב עצמי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מרחב עצמי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של ערכים עצמיים

רמת קושי:

תהי

A \in R^{n \times n}

עם

n

ע"ע ממשיים שונים, ותהי

B \in R^{n \times n}

הפיכה המתחלפת עם

A

(כלומר

A B = B A

).

א. (9 נקודות) יהי

v

ו"ע של

A

. הוכיחו ש-

B v

גם הוא ו"ע של

A

.

ב. (12 נקודות) האם

B

לכסינה מעל

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריהוכחה

יהי

F

שדה.

(א) יהי

p (x) = x^{n} + \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} x^{j} = \prod_{k = 1}^{m} (x - λ_{k})^{d_{k}} \in F [x]

פולינום כאשר

λ_{i} \neq = λ_{j}

עבור

i \neq = j

. קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה:

01 - a_{0} 01 - a_{1} ⋱ ⋱ ⋮ 01 - a_{n - 2} - a_{n - 1}

(ב) נניח כי השדה

F

הוא בן

k

איברים ויהי

k \geq n

. הראו כי המטריצה

A \in M_{n} (F)

הנתונה על ידי

A = 01101 0 ⋱ ⋱ ⋮ 01 00

איננה לכסינה מעל

F

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןפולינום אופייניערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריריבוי גיאומטריצורת ז'ורדןהוכחה

נתונה הע"ל

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי המטריצה המייצגת הבאה (

S

הינו הבסיס הסטנדרטי של

R^{3}

[T]_{S}^{S} = 101120101

א. (7 נק') מצאו בסיס ומימד ל-

(ker T)^{⊥}

(למי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם.

ב. (6 נק') נגדיר

T [U] := {T (u) ∣ u \in U}

כאשר

U := sp ⎩ ⎨ ⎧ 101, 120 ⎭ ⎬ ⎫

. האם

T [U] \subseteq U

? הוכיחו תשובתכם.

ג. (10 נק') האם קיים בסיס סדור

E

ל-

R^{3}

כך ש-

[T]_{E}^{E}

היא מהצורה

* * 0 * * 0 00 *

? הוכיחו תשובתכם. (ה-"*" לאו דווקא שוות; בכל המקומות שרשום 0 יש בהכרח 0.)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב עצמיערכים עצמייםאורתוגונליותמשלים אורתוגונליתת-מרחב אינווריאנטימטריצת ייצוגגרעיןהוכחה

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית ותהי

q (x) = x^{t} A x

צורה ריבועית. הפולינום האופייני של

A

הוא

p_{A} (x) = x (x - 4) (x - 8)

. נתון כי

W = {x \in R^{3} ∣ q (x) = 0}

.
(ג) מצאו את

W

ואת מימדו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב עצמילכסון אורתוגונלימימד

נתונה

A = 2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

. נגדיר פונקציה

f : R^{3} \to R

על ידי

f (x) = ⟨ A x, x ⟩

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

האם

W = {x \in R^{3} : f (x) = 0}

מהווה תת-מרחב וקטורי של

R^{3}

? אם כן, מצאו בסיס של

W

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתערכים עצמייםמרחב עצמיתת-מרחבבסיס

תהי

T : R^{3} \to R^{3}

טרנספורמציית ההיטל האורתוגונלי על המישור

S = {(x, y, z) \in R^{3} : x + 2 y - 2 z = 0}

.

מצאו 5 תת-מרחבים

T

-שמורים לא טריוויאליים של

R^{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתתת-מרחב אינווריאנטיאורתוגונליותמרחב עצמיערכים עצמיים

יהיו

w_{1}, w_{2} \in R^{4}

וקטורים המקיימים:

∥ w_{1} ∥ = ∥ w_{2} ∥ = 1

⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = 0

.

נגדיר פונקציה לינארית

T : R^{4} \to R^{4}

לפי:

T v = - v + 2 ⟨ v, w_{1} ⟩ w_{1} + 2 ⟨ v, w_{2} ⟩ w_{2}, v \in R^{4}

מצאו את צורת ז'ורדן של

T

. האם קיים תת-מרחב

T

-שמור ממימד

k

, לכל מספר שלם

1 \leq k \leq 4

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיתת-מרחב אינווריאנטימכפלה פנימית

יהי

V

מ"ו ממימד

n

מעל שדה

F

. ויהי

T : V \to V

אופרטור לינארי. יהי

α

ע"ע של

T

. נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של

α

K_{α} := ker ((T - α I)^{n}) = {v \in V ∣ (T - α I)^{n} (v) = 0}

(אין צורך להוכיח כי הוא ת"מ ומותר להשתמש בכך.)

ניתן להשתמש בסעיפים קודמים גם אם לא הצלחתם אותם.

א. (5 נק) יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי נילפוטנטי מעל

C

. הוכיחו כי

K_{0} = V

.

ב. (6 נק) יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי מעל

C

בעל ע"ע יחיד

α

. הוכיחו כי

K_{α} = V

.

ג. יהי

T : V \to V

אופרטור לינארי מעל

C

. ויהיו

α, μ

ע"ע שונים שלו.

i. (7 נק) יהי

v \in K_{α}

. הוכיחו כי

(T - μ I) (v) \in K_{α}

. (רמז: הראו תחילה כי

T - μ I

ו-

T - α I

מתחלפות.)

ii. (6 נק) יהי

0 \neq = v \in K_{α}

. הוכיחו כי

(T - μ I) (v) \neq = 0

.

iii. (10 נק) הוכיחו כי

K_{α} \cap K_{μ} = {0}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםמרחב עצמינילפוטנטיקיילי-המילטוןתת-מרחב אינווריאנטיהוכחה

נתבונן ב-

R^{3}

עם המכפלה הפנימית הבאה:

⟨ x_{1} y_{1} z_{1}, x_{2} y_{2} z_{2} ⟩ := \frac{1}{4} x_{1} x_{2} + \frac{1}{4} y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

ונגדיר

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי

T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z

א. (10 נק) האם

T

צל"ע? (ביחס למ"פ הנתונה).

ב. (8 נק) מצאו את צורת הז'ורדן של

T

.

ג. (9 נק) מצאו את הוקטורים העצמיים של

T

ביחס לכל אחד מהע"ע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטוריםמכפלה פנימיתערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיצורת ז'ורדןלכסוןמטריצת ייצוג

יהי

φ : C^{n} \to C^{n}

אופרטור ליניארי כך ש-

de g m_{φ} (x) < n

. הוכיחו שקיימים אינסוף תתי-מרחבים אינווריאנטיים ביחס ל-

φ

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

פולינום מינימליפולינום אופייניערכים עצמייםוקטורים עצמייםמרחב עצמיריבוי אלגבריריבוי גיאומטריתת-מרחב אינווריאנטיהוכחהצורת ז'ורדן

שאלות מרחב עצמי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מרחב עצמי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מרחב עצמי.