ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
תהי A = 0 − a − b a 0 − c b c 0 ∈ M 3 ( R ) . (א) הוכיחו כי A ניתנת ללכסון מעל R אם ורק אם a = b = c = 0 . (ב) מצאו מטריצה אלכסונית ב- M 3 ( C ) אשר דומה ל- A . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה אופרטור צמוד מטריצה אנטי-סימטרית
נתבוננ ב- R 3 עם המ"פ הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (9 נקודות) האם T צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד). ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של T . אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור הרמיטי אופרטור צמוד מכפלה פנימית צורת ז'ורדן ערכים עצמיים משפט הספקטרלי לכסון
(בונוס) מצאו פירוק SVD של המטריצה A = 2 0 0 0 1 2 . אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
פירוק SVD פירוק ערכים סינגולריים ערכים עצמיים מטריצה אורתוגונלית
תהי A ∈ R m × n ויהי λ ∈ R . ב. הוכיחו/הפריכו: אם λ = 0 , אזי λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A . ג. הוכיחו/הפריכו: λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A (ללא הנחה על λ ).
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך הוכחה דוגמה נגדית
תהי A ∈ C 5 × 5 כך ש ( A − 2 I ) 2 ( A 2 + I ) = 0 וכן rank ( A − 2 I ) = 2 . מצאו את צורת/צורות הז'ורדן האפשריות ל- A . הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן ערכים עצמיים פולינום מינימלי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי
יהי V = R 2 [ x ] ויהיו a , b ∈ R . נגדיר T : V → V על ידי: ∀ p ( x ) ∈ V : T ( p ( x )) = p ( a + b x ) לאילו ערכי a , b מתקיים T לכסינה?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי ריבוי אלגברי פולינום אופייני מרחב וקטורי
יהי V ממ"פ מעל C ונגדיר W = V × V ואת ⟨( u , v ) , ( u ′ , v ′ ) ⟩ 2 = ⟨ u , u ′ ⟩ + ⟨ v , v ′ ⟩ . (א) הראו כי ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 2 היא מכפלה פנימית ב- W . (ב) בהינתן העתקה לינארית T : V → V נגדיר את S : W → W על ידי S ( u , v ) = ( i T v , − i T ∗ u ) . הראו כי S צמודה לעצמה. (ג) מצאו את הקשר בין הע"ע והו"ע של S לבין הע"ע והו"ע של T ∗ ושל T T ∗ T .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית אופרטור צמוד ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכחה
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C , ותהי T : V → V הע"ל המקיימת T ∗ = T 2 + T + I . הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף): א. T צל"ע ב. T לא צל"ע ג. לכל λ ∈ C מתקיים: λ ע"ע של T עם ו"ע v ⟺ λ ˉ ע"ע של T ∗ עם ו"ע v .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור נורמלי אופרטור צמוד אופרטור הרמיטי ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך
פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב): (א) תהי A ∈ M n ( R ) . נסמן R [ A ] := { f ( A ) ∣ f ∈ R [ x ]} . הראו כי dim R R [ A ] ≤ n . (ב) תהיינה A , B ∈ M 2 ( R ) . הראו כי M 2 ( R ) = { f ( A ) + g ( B ) : f , g ∈ R [ x ]} . (ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן H עבורן i H + I אוניטרית.
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
קיילי-המילטון מימד מרחב וקטורי פולינום אופייני מטריצה הרמיטית מטריצה אוניטרית ערכים עצמיים לכסון אופרטור צמוד אופרטור אוניטרי
תהי A ∈ R n × n עם n ע"ע ממשיים שונים, ותהי B ∈ R n × n הפיכה המתחלפת עם A (כלומר A B = B A ). א. (9 נקודות) יהי v ו"ע של A . הוכיחו ש- B v גם הוא ו"ע של A . ב. (12 נקודות) האם B לכסינה מעל R ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי הוכחה