ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
תהי A ∈ R m × n ויהי λ ∈ R . ב. הוכיחו/הפריכו: אם λ = 0 , אזי λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A . ג. הוכיחו/הפריכו: λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A (ללא הנחה על λ ).
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך הוכחה דוגמה נגדית
יהי V ממ"פ מעל C ונגדיר W = V × V ואת ⟨( u , v ) , ( u ′ , v ′ ) ⟩ 2 = ⟨ u , u ′ ⟩ + ⟨ v , v ′ ⟩ . (א) הראו כי ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 2 היא מכפלה פנימית ב- W . (ב) בהינתן העתקה לינארית T : V → V נגדיר את S : W → W על ידי S ( u , v ) = ( i T v , − i T ∗ u ) . הראו כי S צמודה לעצמה. (ג) מצאו את הקשר בין הע"ע והו"ע של S לבין הע"ע והו"ע של T ∗ ושל T T ∗ T .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית אופרטור צמוד ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכחה
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C , ותהי T : V → V הע"ל המקיימת T ∗ = T 2 + T + I . הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף): א. T צל"ע ב. T לא צל"ע ג. לכל λ ∈ C מתקיים: λ ע"ע של T עם ו"ע v ⟺ λ ˉ ע"ע של T ∗ עם ו"ע v .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור נורמלי אופרטור צמוד אופרטור הרמיטי ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך
תהי A ∈ R n × n עם n ע"ע ממשיים שונים, ותהי B ∈ R n × n הפיכה המתחלפת עם A (כלומר A B = B A ). א. (9 נקודות) יהי v ו"ע של A . הוכיחו ש- B v גם הוא ו"ע של A . ב. (12 נקודות) האם B לכסינה מעל R ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי הוכחה
יהי F שדה. (א) יהי p ( x ) = x n + ∑ j = 0 n − 1 a j x j = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) d k ∈ F [ x ] פולינום כאשר λ i = λ j עבור i = j . קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה: 0 1 − a 0 0 1 − a 1 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 − a n − 2 − a n − 1 (ב) נניח כי השדה F הוא בן k איברים ויהי k ≥ n . הראו כי המטריצה A ∈ M n ( F ) הנתונה על ידי A = 0 1 1 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 איננה לכסינה מעל F . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי צורת ז'ורדן הוכחה
תהיינה A , B ∈ R 3 × 3 , ויהיו v 1 , v 2 , v 3 ∈ R 3 וקטורים בת"ל שכל אחד מהם הוא גם ו"ע של A וגם ו"ע של B . הוכיחו או הפריכו: כל P המלכסנת את A גם מלכסנת את B .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך דוגמה נגדית
נתונה המטריצה A = 5 0 − 4 − 2 1 2 2 0 − 1 . א. מצאו מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים P − 1 A P = D . ב. נתונה המטריצה B = − 7 − 3 9 0 − 1 0 − 6 − 3 8 . מצאו מטריצה הפיכה Q כך ש- Q − 1 A Q = D (כאשר D היא הצורה האלכסונית של A מהסעיף הקודם) וגם Q − 1 B Q אלכסונית. אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2024 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מטריצת ייצוג
יהיו w 1 , w 2 ∈ R 4 וקטורים המקיימים: ∥ w 1 ∥ = ∥ w 2 ∥ = 1 , ⟨ w 1 , w 2 ⟩ = 0 . נגדיר פונקציה לינארית T : R 4 → R 4 לפי: T v = − v + 2 ⟨ v , w 1 ⟩ w 1 + 2 ⟨ v , w 2 ⟩ w 2 , v ∈ R 4 מצאו את צורת ז'ורדן של T . האם קיים תת-מרחב T -שמור ממימד k , לכל מספר שלם 1 ≤ k ≤ 4 ? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 87 · 2024 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי תת-מרחב אינווריאנטי מכפלה פנימית
יהיו λ 1 , λ 2 , … , λ n ∈ R ויהיו v 1 , … , v n ∈ R n הפורשים את R n . הוכיחו כי קיימת מטריצה A ∈ R n × n כך שלכל 1 ≤ i ≤ n מתקיים ש- v i הוא ו"ע של A עבור ע"ע λ i .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2024 · סמסטר א
ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכחה בסיס העתקה לינארית
נתבונן ב- R 3 עם המכפלה הפנימית הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (10 נק) האם T צל"ע? (ביחס למ"פ הנתונה). ב. (8 נק) מצאו את צורת הז'ורדן של T . ג. (9 נק) מצאו את הוקטורים העצמיים של T ביחס לכל אחד מהע"ע. אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2024 · סמסטר א
אופרטור הרמיטי אופרטורים מכפלה פנימית ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי צורת ז'ורדן לכסון מטריצת ייצוג