ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
תהי A ∈ C 5 × 5 כך ש ( A − 2 I ) 2 ( A 2 + I ) = 0 וכן rank ( A − 2 I ) = 2 . מצאו את צורת/צורות הז'ורדן האפשריות ל- A . הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן ערכים עצמיים פולינום מינימלי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי
יהי V = R 2 [ x ] ויהיו a , b ∈ R . נגדיר T : V → V על ידי: ∀ p ( x ) ∈ V : T ( p ( x )) = p ( a + b x ) לאילו ערכי a , b מתקיים T לכסינה?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי ריבוי אלגברי פולינום אופייני מרחב וקטורי
יהי F שדה. (א) יהי p ( x ) = x n + ∑ j = 0 n − 1 a j x j = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) d k ∈ F [ x ] פולינום כאשר λ i = λ j עבור i = j . קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה: 0 1 − a 0 0 1 − a 1 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 − a n − 2 − a n − 1 (ב) נניח כי השדה F הוא בן k איברים ויהי k ≥ n . הראו כי המטריצה A ∈ M n ( F ) הנתונה על ידי A = 0 1 1 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 איננה לכסינה מעל F . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי צורת ז'ורדן הוכחה
תהי A ∈ R n × n כך ש- A 3 = 0 וכך ש- A 2 = 0 . אזי, rank ( A ) ≤ 3 2 n . הוכיחו/הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
נילפוטנטי צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן ריבוי גיאומטרי הוכח או הפרך
תהי A ∈ R 4 × 4 המקיימת ( A 2 + 1 ) ( A 2 − 9 ) = 0 ונתון כי rank ( i I − A ) = 3 . מהן צורות הז'ורדן האפשריות של A מעל C ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי פולינום מינימלי לכסון
הוכיחו את המשפט הבא: תהי A מטריצה ריבועית. אז מתקיים g m A ( λ ) ≤ a m A ( λ ) לכל ע"ע λ של A .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2024 · סמסטר ב
ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי ערכים עצמיים הוכחה
נגדיר הע"ל T : R 2 [ x ] → R 2 [ x ] על ידי T ( p ( x )) := p ( x ) + p ( x + 1 ) א. מצאו את צורת הז'ורדן של T . ב. נתבונן ב- R 2 [ x ] עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית: ⟨ a + b x + c x 2 , α + β x + γ x 2 ⟩ := a α + b β + c γ מצאו את הוקטור ב- Im ( T ) שהכי קרוב לווקטור x 2 − 1 .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן ערכים עצמיים ריבוי גיאומטרי פולינום אופייני הטלה אורתוגונלית מכפלה פנימית
יהי φ : C n → C n אופרטור ליניארי כך ש- deg m φ ( x ) < n . הוכיחו שקיימים אינסוף תתי-מרחבים אינווריאנטיים ביחס ל- φ .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2023 · סמסטר ב
פולינום מינימלי פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי תת-מרחב אינווריאנטי הוכחה צורת ז'ורדן
יהי n ≥ 2 ותהי A ∈ R n × n המקיימת tr ( A ) = 0 ו- rank ( A ) = 1 . מהם הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של A ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2023 · סמסטר ב
פולינום אופייני פולינום מינימלי ערכים עצמיים עקבה ריבוי גיאומטרי
האם המטריצה הבאה לכסינה? נמקו היטב: A = 1 1 1 ⋮ 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 1 1 ⋮ 1 ∈ R 10 × 10 (שורה 1 היא ( 1 , 0 , … , 0 ) ; שורות 2–10 הן ( 1 , 1 , … , 1 ) .) אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2023 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דרגה