יהיו V,W מרחבי מכפלה פנימית (ייתכן מכפלות פנימיות שונות) ממימד סופי מעל שדה F. נאמר ש-V,Wאיזומורפיים בתור מרחבי מכפלה פנימית אם קיימת העתקה לינארית הפיכה T:V→W כך שלכל v,u∈V:
⟨v,u⟩V=⟨T(v),T(u)⟩W
הוכיחו כי V,W איזומורפיים בתור מרחבי מכפלה פנימית אם ורק אם dimV=dimW.
א. (6 נק') מצאו בסיס אורתונורמלי B ומטריצה אלכסונית D∈R4×4 כך ש-[T]BB=D.
ב. (7 נק') מצאו את הוקטור בגרעין של T הכי קרוב ל-v=1234.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2023 · סמסטר ב
★★★★★
ערכים עצמייםלכסון אורתוגונליתהליך גרם-שמידטבסיס אורתונורמליהטלה אורתוגונליתמכפלה פנימית
סעיף א' (10 נק')
שלושה חברים ישבו והרהרו באלגוריתם ללכסון יוניטרי של ה"ל נורמלית ולכסינה T:V→V.
• אמר איל: צריך למצוא בסיס עצמי B של V (כלומר לבצע לכסון רגיל של T) ואז לבצע גרם-שמידט על B לקבלת בסיס עצמי א"נ.
• אמר אריאל: צריך בנפרד למצוא לכל ע"ע λi של T בסיס א"נ של התמ"ו העצמי ET(λi) (כלומר לבצע גרם-שמידט k פעמים כשיש k ע"ע שונים), ואיחוד של כל הבסיסים הללו הוא בסיס עצמי א"נ.
• אמר יהב: שניכם צודקים, כלומר שתי השיטות תעבודנה (עבור T נורמלית).
מי מהם צודק? הסבירו.
סעיף ב' (10 נק')
חשבו את המטריצה הממשית 1−10211−40−12023
סעיף ג' (10 נק')
תהי M⊂M2(R) קבוצת המטריצות מסדר 2 שבכל תא שלהן יש ±1, כלומר M={(αγβδ):α2=β2=γ2=δ2=1}
כמה מבין ∣M∣=16 המטריצות הן לכסינות מעל R? כמה מהן ניתנות לשילוש מעל R אך אינן לכסינות מעל R? הסבירו ונמקו את תשובתכם.
סעיף ד' (10 נק')
יהי V ממ"פ, תהי T:V→V ה"ל, ויהי W תמ"ו של V שהוא T־אינווריאנטי. הוכיחו כי W⊥ הוא T∗־אינווריאנטי.
יש להשתמש ישירות בהגדרות ולא להסתמך על טענות אחרות.
בשאלה זו רוצים לחשב פולינום ריבועי מתוקן f(x)=x2+βx+α כך שהפרבולה שמוגדרת על ידי f היא קירוב טוב ביותר (במובן least squares) של אוסף הנקודות {(−1,0),(4,18),(7,50),(8,66)}.
סעיף א' (5 נק')
הגדירו מטריצה A∈Mm×n(R) מלאה מדרגה וווקטור b∈Rm כך שמציאת f כנ"ל שקולה לבעיית least squares של מציאת וקטור z∈Rn המביא למינימום את הנורמה האוקלידית ∥ε∥=∥b−Az∥ של שגיאת הקירוב שנותן f. המספרים m,n אינם נתונים ויש לבחור אותם בהתאם ל־f ולנקודות הנתונות.
סעיף ב' (10 נק')
חשבו פירוק QR עבור המטריצה A שהצגתם בסעיף א'. רישמו ראשית מה המימדים של Q ושל R. רמז: אם בחרתם את A נכון, גם Q וגם R הן מטריצות רציונליות.
סעיף ג' (5 נק')
חשבו את הפולינום f.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2022 · סמסטר ב
★★★★★
least squaresפירוק QRתהליך גרם-שמידטבסיס אורתונורמלימטריצת ייצוגהטלה אורתוגונלית
יהי W:=sp⎩⎨⎧101,53−3⎭⎬⎫ תת-מרחב של R3. מצאו את ההיטל האורתוגונלי של הווקטור 010 על W ביחס למכפלה הפנימית הבאה:
שאלות תהליך גרם-שמידט באלגברה לינארית 2 עם פתרונות
שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא תהליך גרם-שמידט ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא תהליך גרם-שמידט.