איך לתרגל שאלות אופרטור הרמיטי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטור הרמיטי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטור הרמיטי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטור הרמיטי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטור הרמיטי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

אופרטור הרמיטי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטור הרמיטי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - אופרטור הרמיטי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

נתבוננ ב-

R^{3}

עם המ"פ הבאה:

⟨ x_{1} y_{1} z_{1}, x_{2} y_{2} z_{2} ⟩ := \frac{1}{4} x_{1} x_{2} + \frac{1}{4} y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

ונגדיר

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי

T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z

א. (9 נקודות) האם

T

צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד).

ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של

T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור צמודמכפלה פנימיתצורת ז'ורדןערכים עצמייםמשפט הספקטרלילכסון

יהי

V

מ"מ ממ"פ נ"ס מעל

C

, ותהי

T : V \to V

הע"ל המקיימת

T^{*} = T^{2} + T + I

.

הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף):

א.

T

צל"ע

ב.

T

לא צל"ע

ג. לכל

λ \in C

מתקיים:

λ

ע"ע של

T

עם ו"ע

v

⟺

\overset{ˉ}{λ}

ע"ע של

T^{*}

עם ו"ע

v

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור נורמליאופרטור צמודאופרטור הרמיטיערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרך

יהי

V

מ"מ ממימד סופי מעל

R

. ויהי

T : V \to V

אופרטור אנטי-צל"ע, כלומר

T = - T^{*}

. הוכיחו/הפריכו:

א.

T

לכסין

ב.

T^{2}

לכסין

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודלכסוןערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדיתאופרטור הרמיטי

הגדרה: יהי

V

מ"מ ממימד סופי מעל

F

, הע"ל

T : V \to V

נקראת אידמפוטנטית אם היא מקיימת

T = T^{2}

.

א. (5 נקודות) יהי

U

ת"מ של

V

. הוכיחו כי העתקת ההיטל האו"ג (

π_{U}

) היא אידמפוטנטית.

ב. יהי

V

מ"מ ממימד סופי מעל

R

, ותהי

T : V \to V

הע"ל אידמפוטנטית.

ב.i. (4 נקודות) האם

T

בהכרח לכסינה?

ב.ii. (6 נקודות) הוכיחו ש-

Im T = ker (I - T)

.

ג. יהי

V

מ"מ ממימד סופי מעל

R

, ותהי

T : V \to V

הע"ל אידמפוטנטית. נניח כי בנוסף

T

נורמלית.

ג.i. (8 נקודות) הוכיחו כי

T

צמודה לעצמה.

ג.ii. (11 נקודות) הוכיחו כי קיים ת"מ

W \subseteq V

המקיים:

(\forall w \in W : T (w) = w) \land (\forall u \in W^{⊥} : T (u) = 0)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתלכסוןאופרטור נורמליאופרטור הרמיטימשלים אורתוגונליהוכחהאידמפוטנטי

הוכיחו או הפריכו: תהי

A \in C^{n \times n}

צמודה לעצמה (צל"ע). אזי

A - (i + 1) I

הפיכה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטימטריצה הרמיטיתערכים עצמייםהוכח או הפרך

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית ו-

T : V \to V

אופרטור אידמפוטנט (

T^{2} = T

). בסעיף זה נתון בנוסף כי

Im T = (ker T)^{⊥}

.

i. (8 נק') הוכיחו כי

T

הרמיטי.

ii. (8 נק') נסמן ב-

Π_{Im T}

את ההיטל (האו"ג) על

Im T

. הוכיחו כי

T = Π_{Im T}

.

iii. (8 נק') הוכיחו כי לכל

v \in V

מתקיים

∥ v ∥ \geq ∥ T (v) ∥

וכי במקרה בו מתקיים שיוויון נובע ש-

v \in Im T

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטיהטלה אורתוגונליתמשלים אורתוגונלימכפלה פנימיתאופרטוריםהוכחה

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל

C

(נסמן את המ"פ ב-

⟨ \cdot, \cdot ⟩

), ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית צמודה לעצמה (צל"ע) כך שכל ערכיה העצמיים חיוביים ממש (גדולים מ-0).

בשאלה זו ניתן להסתמך על סעיפים קודמים גם אם לא פתרתם אותם.

א. (10 נק') הוכיחו כי קיימת הע"ל

R : V \to V

צל"ע כך ש-

T = R R^{*}

.

ב. (10 נק') עבור

T

הנ"ל, נגדיר מכפלה פנימית חדשה: לכל

v, u \in V

⟨ v, u ⟩^{'} := ⟨ T v, u ⟩

הוכיחו כי זוהי מכפלה פנימית על

V

.

ג. (12 נק') תהי

T

כנ"ל ותהי

S : V \to V

צל"ע. הוכיחו כי

S T

לכסינה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור חיובימכפלה פנימיתלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליהוכחה

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית. יהיו

w_{1}, w_{2} \in V

וקטורים המקיימים:

⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = 0

∥ w_{1} ∥ = ∥ w_{2} ∥ = 1

.

יהיו

a, b \in R

. נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : V \to V

על ידי

T (v) = v + a ⟨ v, w_{1} ⟩ w_{1} - b ⟨ v, w_{2} ⟩ w_{2}

.

האם

T^{20}

טרנספורמציה לינארית צמודה לעצמה? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 92 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

אופרטור צמודאופרטור הרמיטימכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימית

הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות (6 נקודות לסעיף):

א. תהי

A \in C^{n \times n}

כך שקיים

k

המקיים ש-

A^{k}

לכסינה. אזי,

A

לכסינה.

ב. תהי

A \in C^{n \times n}

אוניטרית. אזי,

∣ tr A ∣ \leq n

.

ג. יהי

V

מרחב מכפלה פנימית מעל

C

. אזי, הקבוצה

{T : V \to V ∣ T צמודה לעצמה}

מהווה מרחב וקטורי (תת-מרחב של האופרטורים הלינאריים).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםמטריצה אוניטריתעקבהאופרטור הרמיטיהוכח או הפרךדוגמה נגדיתנילפוטנטי

יהי

V

ממ"פ (ממשי או מרוכב) ותהי

T : V \to V

העתקה צמודה לעצמה. ידוע כי כל ע"ע של

T

הוא

0

או

1

. הוכיחו כי

T

היא הטלה א"ג, כלומר

T = P_{U}

עבור תמ"ו

U \subseteq V

כלשהו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיהטלה אורתוגונליתמשפט הספקטרליהוכחה

שאלות אופרטור הרמיטי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא אופרטור הרמיטי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטור הרמיטי.