ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של מכפלה פנימית
מרחב מכפלה פנימית אורתוגונליות תהליך גרם-שמידט בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי הטלה אורתוגונלית מטריצה אורתוגונלית מטריצה אוניטרית
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל C , ויהי W תת-מ"מ שלו. הוכיחו/הפריכו: לכל v ∈ V , w ∈ W מתקיים ⟨ v , w ⟩ = ⟨ π W ( v ) , w ⟩
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית מכפלה פנימית הוכח או הפרך משלים אורתוגונלי
נתבונן ב V = R 4 עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. יהיו u 1 := 1 1 1 1 , u 2 := 1 − 1 1 − 1 , u 3 := 1 1 − 1 − 1 ונגדיר U := sp { u 1 , u 2 , u 3 } . א. (10 נק') נסמן ב p את ההיטל של v = 2 3 1 0 על U . חשבו את p . ב. (8 נק') עבור p מהסעיף הקודם: מצאו וקטור 0 = w ∈ V המקיים ∥ w + p ∥ 2 = ∥ p ∥ 2 + ∥ w ∥ 2 . הוכיחו תשובתכם. ג. (6 נק') מצאו בסיס ומימד ל U ⊥ . הוכיחו תשובתכם. אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית הטלה אורתוגונלית אורתוגונליות בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי בסיס מימד
נתבוננ ב- V = R 4 עם המ"פ הסטנדרטית. ויהיו u 1 := 1 1 1 1 , u 2 := 1 − 1 1 − 1 , u 3 := 2 2 0 0 ונגדיר U := sp { u 1 , u 2 , u 3 } ונגדיר v := 2 3 1 0 . א. (10 נקודות) מצאו את הוקטור ב- U שהוא הכי קרוב ל- v (לפי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם. ב. (8 נקודות) יהי v ∈ V (לאו דווקא המוגדר בסעיף קודם). נסמן ב- p את הוקטור ב- U שהכי קרוב ל- v . הביאו בעזרת v , p בסיס אורתונורמלי ל- U ⊥ . הוכיחו תשובתכם. אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית מכפלה פנימית תהליך גרם-שמידט בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי
נתבוננ ב- R 3 עם המ"פ הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (9 נקודות) האם T צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד). ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של T . אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור הרמיטי אופרטור צמוד מכפלה פנימית צורת ז'ורדן ערכים עצמיים משפט הספקטרלי לכסון
יהי V ממ"פ מעל C ונגדיר W = V × V ואת ⟨( u , v ) , ( u ′ , v ′ ) ⟩ 2 = ⟨ u , u ′ ⟩ + ⟨ v , v ′ ⟩ . (א) הראו כי ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 2 היא מכפלה פנימית ב- W . (ב) בהינתן העתקה לינארית T : V → V נגדיר את S : W → W על ידי S ( u , v ) = ( i T v , − i T ∗ u ) . הראו כי S צמודה לעצמה. (ג) מצאו את הקשר בין הע"ע והו"ע של S לבין הע"ע והו"ע של T ∗ ושל T T ∗ T .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית אופרטור צמוד ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכחה
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C . לכל x , y ∈ V נגדיר הע"ל T x y : V → V באופן הבא: ∀ v ∈ V T x y ( v ) := ⟨ v , x ⟩ y א. (9 נקודות) יהיו x , y ∈ V . מצאו את T x y ∗ במפורש (כלומר, למה שווה T x y ∗ ( v ) עבור v שרירותי ב- V ). הוכיחו. ב. (8 נקודות) יהיו x , y ∈ V . הוכיחו כי: T x y צל"ע אם ורק אם קיים α ∈ R (ממשי) כך ש- x = α y או y = α x . ג. (8 נקודות) יהי B = { v 1 , … , v n } בסיס או"נ של V . הוכיחו כי לכל v ∈ V מתקיים: v = i = 1 ∑ n ⟨ v , v i ⟩ v i ד. (8 נקודות) תהי T : V → V הע"ל. נסמן ב- k את המימד של Im T (נניח k ≥ 1 ). הוכיחו כי קיימות k הע"ל מהצורה T x 1 y 1 , … , T x k y k כך ש: T = T x 1 y 1 + … + T x k y k אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמוד בסיס אורתונורמלי מכפלה פנימית הטלה אורתוגונלית העתקה לינארית הוכחה מימד
נסחו והוכיחו את משפט פיתגורס.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
מכפלה פנימית אורתוגונליות הוכחה
נסחו והוכיחו את אי-שוויון קושי-שוורץ (כולל תנאי מספיק והכרחי לשיוויון).
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית הוכחה אי-שוויון קושי-שוורץ
נתבונן במרחב V := C n × n עם המ"פ הסטנדרטית ⟨ A , C ⟩ = tr ( A C ∗ ) . תהי A ∈ V הפיכה. נגדיר הע"ל T : V → V על ידי: ∀ B ∈ V : T ( B ) = A B A − 1 א. (9 נק') מצאו את T ∗ . הוכיחו תשובתכם. ב. (4 נק') נניח A אוניטרית. האם בהכרח גם T אוניטרית? הוכיחו תשובתכם.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמוד אופרטור אוניטרי מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית מטריצה אוניטרית הוכחה
תהי T : R 2 → R 2 העתקה לינארית עם T ( x ) = A x כאשר A = [ T ] E . תהי ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ המכפלה הפנימית הסטנדרטית. הוכיחו כי ⟨ T ( x ) , y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ לכל x , y ∈ R 2 , ושהתנאי ⟨ T ( x ) , y ⟩ ≥ 0 לכל x , y שקול לכך ש- A חיובית.
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
מכפלה פנימית אופרטור חיובי מטריצה סימטרית