ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של ערכים עצמיים
לכסון לכסון אורתוגונלי פולינום אופייני פולינום מינימלי וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי דטרמיננטה עקבה תת-מרחב אינווריאנטי קיילי-המילטון
נגדיר טרנספורמציה לינארית T : M 2 × 2 R → M 2 × 2 R על ידי T ( A ) = A + 4 A t , לכל A ∈ M 2 × 2 R . האם לכל מספר שלם 1 ≤ d ≤ 4 קיים תת-מרחב W ⊆ M 2 × 2 R כך ש- T ( W ) ⊆ W ו- dim W = d ? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב אינווריאנטי העתקה לינארית מימד
נתונה הע"ל T : R 3 → R 3 על ידי המטריצה המייצגת הבאה ( S הינו הבסיס הסטנדרטי של R 3 ): [ T ] S S = 1 0 1 1 2 0 1 0 1 א. (7 נק') מצאו בסיס ומימד ל- ( ker T ) ⊥ (למי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם. ב. (6 נק') נגדיר T [ U ] := { T ( u ) ∣ u ∈ U } כאשר U := sp ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 1 , 1 2 0 ⎭ ⎬ ⎫ . האם T [ U ] ⊆ U ? הוכיחו תשובתכם. ג. (10 נק') האם קיים בסיס סדור E ל- R 3 כך ש- [ T ] E E היא מהצורה ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ? הוכיחו תשובתכם. (ה-"*" לאו דווקא שוות; בכל המקומות שרשום 0 יש בהכרח 0.) אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
מרחב עצמי ערכים עצמיים אורתוגונליות משלים אורתוגונלי תת-מרחב אינווריאנטי מטריצת ייצוג גרעין הוכחה
תהי T : R 2 → R 2 טרנספורמציה לינארית שמקיימת T ( − 1 , 3 ) = ( 0 , 0 ) ו- T ( 0 , 3 ) = ( 1 , 0 ) . מצאו את כל תתי-המרחבים ה- T -שמורים של R 2 . נמקו! (הערה: T ∗ מסמן את ההעתקה הצמודה של T .)
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
תת-מרחב אינווריאנטי העתקה לינארית ערכים עצמיים
תהי T טרנספורמציה נורמלית במרחב אוניטרי V ממימד סופי. יהי v = 0 , v ∈ V . הוכיחו כי אם { S p ( v ) } ⊥ הוא T -שמור, אז v וקטור עצמי של T . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
אופרטור נורמלי תת-מרחב אינווריאנטי ערכים עצמיים משלים אורתוגונלי הוכחה
תהי T : R 3 → R 3 טרנספורמציית ההיטל האורתוגונלי על המישור S = {( x , y , z ) ∈ R 3 : x + 2 y − 2 z = 0 } . מצאו 5 תת-מרחבים T -שמורים לא טריוויאליים של R 3 .
האוניברסיטה הפתוחה 87 · 2024 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית תת-מרחב אינווריאנטי אורתוגונליות מרחב עצמי ערכים עצמיים
יהי V מרחב ליניארי מעל שדה F , ותהי T : V → V טרנספורמציה ליניארית. ידוע כי כל תת-מרחב של V הוא T -שמור. הוכיחו שקיים c ∈ F כך ש- T = c I (כלומר הוכיחו ש- T טרנספורמציה סקלרית). נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 87 · 2024 · סמסטר ב
העתקה לינארית תת-מרחב אינווריאנטי ערכים עצמיים הוכחה
יהיו w 1 , w 2 ∈ R 4 וקטורים המקיימים: ∥ w 1 ∥ = ∥ w 2 ∥ = 1 , ⟨ w 1 , w 2 ⟩ = 0 . נגדיר פונקציה לינארית T : R 4 → R 4 לפי: T v = − v + 2 ⟨ v , w 1 ⟩ w 1 + 2 ⟨ v , w 2 ⟩ w 2 , v ∈ R 4 מצאו את צורת ז'ורדן של T . האם קיים תת-מרחב T -שמור ממימד k , לכל מספר שלם 1 ≤ k ≤ 4 ? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 87 · 2024 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי תת-מרחב אינווריאנטי מכפלה פנימית
יהי V מ"ו ממימד n מעל שדה F . ויהי T : V → V אופרטור לינארי. יהי α ע"ע של T . נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של α : K α := ker (( T − α I ) n ) = { v ∈ V ∣ ( T − α I ) n ( v ) = 0 } (אין צורך להוכיח כי הוא ת"מ ומותר להשתמש בכך.) ניתן להשתמש בסעיפים קודמים גם אם לא הצלחתם אותם. א. (5 נק) יהי T : V → V אופרטור לינארי נילפוטנטי מעל C . הוכיחו כי K 0 = V . ב. (6 נק) יהי T : V → V אופרטור לינארי מעל C בעל ע"ע יחיד α . הוכיחו כי K α = V . ג. יהי T : V → V אופרטור לינארי מעל C . ויהיו α , μ ע"ע שונים שלו. i. (7 נק) יהי v ∈ K α . הוכיחו כי ( T − μ I ) ( v ) ∈ K α . (רמז: הראו תחילה כי T − μ I ו- T − α I מתחלפות.) ii. (6 נק) יהי 0 = v ∈ K α . הוכיחו כי ( T − μ I ) ( v ) = 0 . iii. (10 נק) הוכיחו כי K α ∩ K μ = { 0 } .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר ב
צורת ז'ורדן ערכים עצמיים מרחב עצמי נילפוטנטי קיילי-המילטון תת-מרחב אינווריאנטי הוכחה
יהי V מרחב אוניטרי בעל ממד 3. נתון שקטור עצמי של טרנספורמציה נורמלית T במרחב אוניטרי V בעל ממד 3. L = Sp { u } ⊥ הוא T -שמור? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 98 · 2024 · סמסטר א
אופרטור נורמלי תת-מרחב אינווריאנטי משלים אורתוגונלי הוכחה
שאלה 2 (20 נק') יהי V מ"ו מעל שדה F ותהי T : V → V ה"ל. תזכורת: ה"ל S : V → V נקראת סקלרית אם S = λ ⋅ id V עבור סקלר λ ∈ F כלשהו. סעיף א' (10 נק') הוכיחו כי T ה"ל סקלרית אמ"מ כל u ∈ V המקיים u = 0 הוא ו"ע של T . סעיף ב' (10 נק') נתון כי T P = P T לכל הטלה P : V → V . הוכיחו כי T ה"ל סקלרית.
אוניברסיטת תל אביב מועד ב · 2023 · סמסטר ב
העתקה לינארית ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב וקטורי הוכחה תת-מרחב אינווריאנטי