איך לתרגל שאלות בלוק ז'ורדן באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות בלוק ז'ורדן באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות בלוק ז'ורדן יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות בלוק ז'ורדן באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על בלוק ז'ורדן לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

בלוק ז'ורדן הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא בלוק ז'ורדן הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - בלוק ז'ורדן

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של צורת ז'ורדן

רמת קושי:

תהי

A \in C^{5 \times 5}

כך ש

(A - 2 I)^{2} (A^{2} + I) = 0

וכן

rank (A - 2 I) = 2

. מצאו את צורת/צורות הז'ורדן האפשריות ל-

A

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםפולינום מינימליריבוי אלגבריריבוי גיאומטרי

תהי

A = (5 - 2 8 - 3)

עם צורת ז'ורדן

J = (1011)

.
(ב) מצאו מטריצה

C \in M_{2 \times 2} (C)

כך ש-

C^{2} = J

(כלומר

C

היא "שורש ריבועי" של

J

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדן

תהי

A = (5 - 2 8 - 3)

עם צורת ז'ורדן

J = (1011)

ו-

A = P^{- 1} J P

.
(ג) מצאו מטריצה

S \in M_{2 \times 2} (C)

כך ש-

S^{2} = A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןמטריצת ייצוג

תהי

A \in R^{n \times n}

כך ש-

A^{3} = 0

וכך ש-

A^{2} \neq = 0

. אזי,

rank (A) \leq \frac{2 n}{3}

. הוכיחו/הפריכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

נילפוטנטיצורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןריבוי גיאומטריהוכח או הפרך

תהא

A \in C^{5 \times 5}

כך ש-

\forall i, j : A_{i, j} \in R

, המקיימת:

rank (A) = 3

, המטריצה

A - (1 + i) I

לא הפיכה, וגם

tr (A) = 0

.

א. (9 נק') מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של

A

(עד כדי סדר הבלוקים).

ב. (8 נק') נגדיר פולינום

f (x) = x^{2} - 9 x + 20

. האם המטריצה

f (A)

הפיכה? נמקו היטב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםפולינום אופייניקיילי-המילטוןהוכחה

תהי

A \in R^{4 \times 4}

המקיימת

(A^{2} + 1) (A^{2} - 9) = 0

ונתון כי

rank (i I - A) = 3

. מהן צורות הז'ורדן האפשריות של

A

מעל

C

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםריבוי גיאומטריפולינום מינימלילכסון

i. (8 נקודות) הוכיחו כי מעל

C

, מטריצה בצורת ז'ורדן דומה למשוחלפת שלה. כלומר, תהי

J \in C^{n \times n}

מטריצה בצורת ז'ורדן — הוכיחו כי

J \sim J^{t}

.
(רמז: חשבו תחילה על בלוק ז'ורדן יחיד)

ii. (5 נקודות) הוכיחו כי מעל

C

, כל מטריצה דומה למשוחלפת שלה. כלומר, לכל

A \in C^{n \times n}

מתקיים

A \sim A^{t}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיהוכחה

נגדיר הע"ל

T : R_{2} [x] \to R_{2} [x]

על ידי

T (p (x)) := p (x) + p (x + 1)

א. מצאו את צורת הז'ורדן של

T

.

ב. נתבונן ב-

R_{2} [x]

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית:

⟨ a + b x + c x^{2}, α + β x + γ x^{2} ⟩ := a α + b β + c γ

מצאו את הוקטור ב-

Im (T)

שהכי קרוב לווקטור

x^{2} - 1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםריבוי גיאומטריפולינום אופייניהטלה אורתוגונליתמכפלה פנימית

הוכיחו או הפריכו: קיימת מטריצה

A \in C^{n \times n}

המקיימת

A^{3} = J_{3} (0)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןנילפוטנטיקיילי-המילטוןהוכח או הפרך

תהי

T : C^{4} \to C^{4}

טרנספורמציה לינארית המוגדרת על ידי:

T (a, b, c, b) = (2 a - b, a, - 2 a + 2 b + d, - 2 a + 2 b - c + 2 d)

מצאו את צורת ז'ורדן של

T

.

(א) האם קיים מספר שלם

m \geq 1

כך ש-

T^{m}

טרנספורמציה לינארית צמודה לעצמה? הוכיחו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה85 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןערכים עצמייםאופרטור צמודהעתקה לינאריתהוכחה

שאלות בלוק ז'ורדן באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא בלוק ז'ורדן ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא בלוק ז'ורדן.