איך לתרגל שאלות שרשרת ז'ורדן באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות שרשרת ז'ורדן באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות שרשרת ז'ורדן יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות שרשרת ז'ורדן באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על שרשרת ז'ורדן לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

שרשרת ז'ורדן הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא שרשרת ז'ורדן הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - שרשרת ז'ורדן

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של צורת ז'ורדן

רמת קושי:

נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי

T (x) = (- x_{1} + x_{2} - x_{3}, - 7 x_{1} + 7 x_{2} - x_{3}, - 6 x_{1} + 6 x_{2})

לכל

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

ב-

R^{3}

.

מצאו בסיס של

R^{3}

שביחס אליו

T

מיוצגת על ידי מטריצת ז'ורדן. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 92 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

צורת ז'ורדןשרשרת ז'ורדןבסיסערכים עצמיים

מצאו צורת ז'ורדן

J

של המטריצה

A = 1 - 2 - 1 - 3 - 6 - 4 3138

מצאו מטריצה הפיכה

P

המקיימת

J = P^{- 1} A P

. נמקו!
ברקו (בעזרת כפל מטריצות) שהמכפלה

A P

שווה ל-

P J

.

רמז: בדקו האם כל הע"ע של

A

שווים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה98 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםוקטורים עצמייםשרשרת ז'ורדן

תהי טרנספורמציה לינארית

S : R^{4} \to R^{4}

שמקיימת

S (e_{1}) = 0

S (e_{2}) = e_{3}

S (e_{3}) = 0

S (e_{4}) = e_{1}

. תהי

A = [S]_{E}

מטריצת הייצוג של

S

ביחס לבסיס הסטנדרטי.

מצאו את צורת ז'ורדן

J

של המטריצה

A

, ומצאו מטריצה

P

המקיימת

P^{- 1} A P = J

. נמקו!

הערה:

E = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}

מסמן את הבסיס הסטנדרטי של

R^{4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה81 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

צורת ז'ורדןשרשרת ז'ורדןהעתקה לינאריתמטריצת ייצוגנילפוטנטי

נתונה המטריצה

A = (5 - 3 3 - 1)

. נסמן

A^{n} = (x_{n} z_{n} y_{n} w_{n})

לכל

n \geq 1

מספר שלם.

מצאו את צורת ז'ורדן של

A

. מצאו נוסחה מפורשת עבור כל אחת מהסדרות

x_{n}, y_{n}, z_{n}, w_{n}

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה65 · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןחזקות מטריצהערכים עצמייםשרשרת ז'ורדן

סעיף א' (8 נק')

יהי

V

מרחב וקטורי ממימד

n

מעל

C

, תהי

T : V \to V

ה"ל עם ע"ע

λ

, ויהיו

α_{1}, α_{2} \in ker (T - λ \cdot I_{V})^{k}

שני וקטורים כך ש־

γ_{1}, γ_{2}

הם בת"ל עבור

γ_{i} = (T - λ \cdot I_{V})^{k - 1} (α_{i}) \in ker (λ \cdot I_{V} - T)

.

הוכיחו או הפריכו: הקבוצה

{(T - λ \cdot I_{V})^{j} α_{i} : i \in {1, 2}, j \in {0, 1, \dots, k - 1}}

היא בת"ל.

סעיף ב' (17 נק')

תהי

A \in M_{5} (C)

ויהי סקלר

λ \in C

. נתון כי הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של

A

הם

c_{A} (x) = (x - λ)^{5}, m_{A} (x) = (x - λ)^{2}

תארו אלגוריתם לחישוב בסיס ז'ורדן עבור המטריצה

A

. במידת הצורך הפרידו למקרים, ודאגו לתאר את האלגוריתם במדויק ובצורה מפורטת.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןשרשרת ז'ורדןפולינום אופייניפולינום מינימליריבוי אלגבריריבוי גיאומטרימרחב עצמינילפוטנטיהוכחהערכים עצמייםוקטורים עצמיים

נתונה המטריצה

M = 2 - 3 3 - 2 - 5 13 - 1 - 4 9

.
האם יש פתרון יחיד לשאלה בסעיף הקודם (מציאת מטריצה הפיכה

P

המקיימת

J_{M} = P^{- 1} M P

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה98 · 2018 · סמסטר ג

★★★★★

צורת ז'ורדןשרשרת ז'ורדן

נתונה המטריצה

M = 2 - 3 3 - 2 - 5 13 - 1 - 4 9

.
מצאו מטריצה הפיכה

P

המקיימת

J_{M} = P^{- 1} M P

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2016 סמסטר א 83 | 2018 סמסטר ג 98

★★★★★

צורת ז'ורדןשרשרת ז'ורדןערכים עצמיים

א) מהו המספר המקסימלי של מטריצות

M_{4} (C)

שאינן לכסינות ואינן דומות אחת לשנייה עם פולינום אופייני

p (x) = (x - 2)^{2} (x - 3)^{2}

?

ב) מצאו צורת ז׳ורדן ובסיס מז׳ורדן עבור

A = 100110012

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןשרשרת ז'ורדןפולינום אופייניערכים עצמייםוקטורים עצמייםריבוי אלגבריריבוי גיאומטרילכסוןמרחב עצמי

א) מצאו את צורת ז'ורדן ובסיס מז'ורדן עבור המטריצה

A = 250020 0 - 3 2

(אם צריך אפשר להשתמש בזהות

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} b^{n - k}

.)

ב) יהי

V

מרחב וקטורי מעל

C

n = dim V

, תהי

T : V \to V

העתקה לינארית.
ידוע כי הפירוק הפרימרי של

V

ביחס ל

T

הוא

V = W_{1} \oplus W_{2}

, כך שמתקיים:

(i) לW_1 קיים בסיס מהצורה

{α, T α, T^{2} α, \dots, T^{k - 1} α}

כך ש

T^{k - 1} α \in ker T

k \leq n - 2

.

(ii) נסמן ב

T_{2}

את

T ∣_{W_{2}}

. ידוע כי הפולינום המינימלי של

T_{2}

m_{T_{2}} (x)

, הוא מהצורה

m_{T_{2}} (x) = (x - 3)^{n - k - 1}

מצאו את צורת ז'ורדן של

T

עד כדי סדר הבלוקים. (שימו לב: יש לנמק היטב את טענותיכם)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןשרשרת ז'ורדןפולינום מינימליפולינום אופייניערכים עצמייםריבוי אלגבריריבוי גיאומטרינילפוטנטיתת-מרחב אינווריאנטיהעתקה לינארית

נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : R^{5} \to R^{5}

על ידי:

T (x) = (0, x_{4} + x_{3}, 0, x_{3}, x_{4} + x_{1})

לכל

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})

ב-

R^{5}

.

ג. מצאו בסיס של

R^{5}

שביחס אליו

T

מיוצגת על ידי מטריצת ז'ורדן נילפוטנטית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה85 · 2018 · סמסטר א

★★★★★

נילפוטנטיצורת ז'ורדןבלוק ז'ורדןשרשרת ז'ורדןבסיס

שאלות שרשרת ז'ורדן באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא שרשרת ז'ורדן ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא שרשרת ז'ורדן.