יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C . לכל x , y ∈ V נגדיר הע"ל T x y : V → V באופן הבא: ∀ v ∈ V T x y ( v ) := ⟨ v , x ⟩ y א. (9 נקודות) יהיו x , y ∈ V . מצאו את T x y ∗ במפורש (כלומר, למה שווה T x y ∗ ( v ) עבור v שרירותי ב- V ). הוכיחו. ב. (8 נקודות) יהיו x , y ∈ V . הוכיחו כי: T x y צל"ע אם ורק אם קיים α ∈ R (ממשי) כך ש- x = α y או y = α x . ג. (8 נקודות) יהי B = { v 1 , … , v n } בסיס או"נ של V . הוכיחו כי לכל v ∈ V מתקיים: v = i = 1 ∑ n ⟨ v , v i ⟩ v i ד. (8 נקודות) תהי T : V → V הע"ל. נסמן ב- k את המימד של Im T (נניח k ≥ 1 ). הוכיחו כי קיימות k הע"ל מהצורה T x 1 y 1 , … , T x k y k כך ש: T = T x 1 y 1 + … + T x k y k אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמוד בסיס אורתונורמלי מכפלה פנימית הטלה אורתוגונלית העתקה לינארית הוכחה מימד
תהי T : R 2 → R 2 ההעתקה הלינארית T (( x , y )) = ( 3 x + 6 y , − 3 x − 3 y ) . p T ( x ) ואת הערכים העצמיים של T .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני ערכים עצמיים העתקה לינארית
נגדיר טרנספורמציה לינארית T : M 2 × 2 R → M 2 × 2 R על ידי T ( A ) = A + 4 A t , לכל A ∈ M 2 × 2 R . מצאו את הפולינום המינימלי של T . האם T טרנספורמציה נורמלית הפיכה?
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
פולינום מינימלי אופרטור נורמלי העתקה לינארית
נגדיר טרנספורמציה לינארית T : M 2 × 2 R → M 2 × 2 R על ידי T ( A ) = A + 4 A t , לכל A ∈ M 2 × 2 R . האם לכל מספר שלם 1 ≤ d ≤ 4 קיים תת-מרחב W ⊆ M 2 × 2 R כך ש- T ( W ) ⊆ W ו- dim W = d ? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב אינווריאנטי העתקה לינארית מימד
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל R ותהי T : V → V העתקה לינארית המקיימת T ∗ = − T . נגדיר S : V → V על ידי S ( x ) = x + a T ( x ) עבור a ∈ R . S הפיכה.
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמוד העתקה לינארית מרחב מכפלה פנימית
נתבונן במ"פ הבאה על R 2 : ⟨ ( y 1 x 1 ) , ( y 2 x 2 ) ⟩ = 2 x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 נתונה הע"ל T : R 2 → R 2 הבאה: T ( y x ) = ( 2 x − y 3 x + 4 y ) . מצאו במפורש את T ∗ .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמוד מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית העתקה לינארית מטריצת ייצוג
נגדיר טרנספורמציה לינארית S : M 3 × 3 R → M 3 × 3 R על ידי S ( A ) = − 6 A t , לכל A ∈ M 3 × 3 R . מצאו את הפולינום האופייני של S . האם S צמודה לעצמה? מצאו את צורת ז'ורדן של S . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייני צורת ז'ורדן אופרטור צמוד העתקה לינארית מטריצה משוחלפת
תהי T : R 2 → R 2 ההעתקה הלינארית T (( x , y )) = ( 3 x + 6 y , − 3 x − 3 y ) עם p T ( x ) = x 2 + 9 . T n לכל n ∈ N . מצאו לאילו ערכי n מתקיים T n ∈ M 2 × 2 ( R ) (כלומר מטריצה ממשית).
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
ערכים עצמיים העתקה לינארית פולינום אופייני
תהי T : R 2 → R 2 טרנספורמציה לינארית שמקיימת T ( − 1 , 3 ) = ( 0 , 0 ) ו- T ( 0 , 3 ) = ( 1 , 0 ) . מצאו את המטריצה המייצגת של T ∗ לפי הבסיס הסטנדרטי B = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )} . (הערה: T ∗ מסמן את ההעתקה הצמודה של T .)
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
אופרטור צמוד מטריצת ייצוג העתקה לינארית
תהי T : R 2 → R 2 טרנספורמציה לינארית שמקיימת T ( − 1 , 3 ) = ( 0 , 0 ) ו- T ( 0 , 3 ) = ( 1 , 0 ) . מצאו את כל תתי-המרחבים ה- T -שמורים של R 2 . נמקו! (הערה: T ∗ מסמן את ההעתקה הצמודה של T .)
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
תת-מרחב אינווריאנטי העתקה לינארית ערכים עצמיים