איך לתרגל שאלות מטריצה נורמלית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצה נורמלית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מטריצה נורמלית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצה נורמלית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצה נורמלית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מטריצה נורמלית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצה נורמלית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מטריצה נורמלית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

שאלה 4 (20 נק')

עבור מטריצה אלכסונית

D = diag (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})

נגדיר את המטריצה

exp D = diag (e^{β_{1}}, e^{β_{2}}, \dots, e^{β_{n}})

לדוגמה,

exp (0_{n}) = I_{n}

.

נרחיב את ההגדרה של

exp

למטריצות לכסינות באופן הבא: אם

A = P \cdot D \cdot P^{- 1}

עבור מטריצה אלכסונית

D

ומטריצה הפיכה

P

, נגדיר

exp A = P \cdot exp D \cdot P^{- 1}

הערה: ניתן להניח (ואין צורך להוכיח זאת) שההגדרה לעיל טובה, כלומר אינה תלויה בבחירת המטריצות

P, D

.

הערה: הגדרות אלה בדיוק הופיעו במועד א'.

תזכורת: עבור

θ \in R

מתקיים

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

.

סעיף א' (10 נק')

תהיינה

A, B \in M_{n} (C)

מטריצות לכסינות המתחלפות (כלומר

A B = B A

). הוכיחו ש־

exp (A + B)

מוגדרת היטב, ושמתקיים

exp (A + B) = exp A \cdot exp B

.

סעיף ב' (10 נק')

תזכורת: מטריצה

A \in M_{n} (C)

נקראת אנטי־הרמיטית אמ"מ

A^{*} = - A

.

הוכיחו או הפריכו: אם

A \in M_{n} (C)

מטריצה אנטי־הרמיטית אז

exp A

מטריצה יוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןמטריצה אוניטריתמטריצה הרמיטיתאופרטור אוניטרימשפט הספקטרלימטריצה נורמליתהוכחהערכים עצמייםלכסון אורתוגונלי

סעיף א' (10 נק')

הוכיחו או הפריכו: אם שתי מטריצות ממשיות

A, B \in M_{n} (R)

הן לכסינות אורתוגונלית, אז גם סכומן

A + B

הוא מטריצה לכסינה אורתוגונלית.

סעיף ב' (10 נק')

הוכיחו או הפריכו: אם שתי מטריצות מרוכבות

A, B \in M_{n} (C)

הן לכסינות יוניטרית, אז גם סכומן

A + B

הוא מטריצה לכסינה יוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלילכסוןאופרטור נורמליאופרטור אוניטרימטריצה סימטריתמטריצה אוניטריתמטריצה נורמליתמשפט הספקטרליהוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתמטריצה אורתוגונלית

האם המטריצה הבאה לכסינה אוניטרית?

A = 0 i 0 i 00 00 i

במידה וכן, מצאו

P

אוניטרית ו-

D

אלכסונית כך ש-

D = P^{*} A P

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלימטריצה אוניטריתמטריצה נורמליתערכים עצמייםוקטורים עצמיים

תהי

A

מטריצה ממשית מסדר

n \times n

, כך ש-

det A = 100

ו-

A^{3} - 2 A^{2} - 25 A + 50 I = 0

. האם בהכרח הסקלר

t = 2

מהווה ערך עצמי של

A

? מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של

A

. האם בהכרח

A

מטריצה ממשית לכסינה ונורמלית? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה84 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

צורת ז'ורדןערכים עצמייםפולינום מינימליפולינום אופיינילכסוןמטריצה נורמליתדטרמיננטהקיילי-המילטון

בדקו שהמטריצה

A = (04 - 4 0)

נורמלית. מצאו את הפירוק הספקטרלי של הטרנספורמציה הלינארית

T_{A} : C^{2} \to C^{2}

T_{A} (v) = A v

, לכל

v = (x y) \in C^{2}

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה98 · 2022 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה נורמליתמשפט הספקטרליערכים עצמייםוקטורים עצמייםבסיס אורתונורמלי

סעיף א' (8 נק')
הוכיחו כי לכל

A \in M_{n} (C)

נורמלית מתקיים שכל הע''ע של

B = A A^{*} = A^{*} A

הם ממשיים אי־שליליים.

סעיף ב' (8 נק')
הוכיחו/הפריכו: לכל

A \in M_{n} (C)

(לאו דווקא נורמלית) מתקיים שכל הע''ע של

B = A A^{*}

הם ממשיים אי־שליליים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה נורמליתמטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםמשפט הספקטרליאופרטור הרמיטימכפלה פנימיתהוכחהפירוק SVD

תהי

A \in M_{2} (R)

ויהי

{β_{1}, β_{2}}

בסיס של

C^{2}

של ו"ע של

A

וכן

⟨ β_{1}, β_{2} ⟩ = 0

כך שמתקיים

β_{1}, β_{2}

בת"ל.

סעיף א' (10 נק')

הוכיחו או הפריכו:

A

היא בהכרח מהצורה

A = (a b b d)

או מהצורה

A = (a - c c a)

.

סעיף ב' (5 נק')

הוכיחו/הפריכו: הוקטורים

β_{i}

הללו בהכרח שייכים ל־

R^{2}

.

סעיף ג' (10 נק')

יהי

V

ממ"פ ממימד סופי. ה"ל

T : V \to V

נקראת חסומה אם מתקיים

∥ T α ∥ \leq ∥ α ∥

לכל

α \in V

.

הוכיחו או הפריכו: אם

T : V \to V

חסומה אז גם

T^{*} : V \to V

חסומה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור נורמליאופרטור צמודמטריצה נורמליתמטריצה סימטריתערכים עצמייםוקטורים עצמייםמכפלה פנימיתאורתוגונליותהוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתלכסון אורתוגונלי

תהי

M \in M_{n \times n}^{C}

מטריצה הפיכה. נגדיר פונקציה לינארית

S : M_{n \times n}^{C} \to M_{n \times n}^{C}

על-ידי

S (X) = X M^{- 1}

. הוכיחו שאם

M

נורמלית אז

S

נורמלית. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה66 · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור נורמליאופרטור צמודמטריצה נורמליתהעתקה לינאריתהוכחה

יהיו

a \neq = b

סקלרים ממשיים ויהיו

U

ו-

W

תתי-מרחבים של

R^{n}

כך ש-

R^{n} = U \oplus W

. תהי

T : R^{n} \to R^{n}

הטרנספורמציה הלינארית המוגדרת כך: לכל וקטור

v \in R^{n}

שמתפרק כ-

v = u + w

כאשר

u \in U

w \in W

T (v) = a u + b w .

יהי

A

מטריצה מרוכבת המייצגת את הטרנספורמציה

T

עם פולינום מינימלי

M (x) = x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

. מהו הפולינום המינימלי של

\overset{ˉ}{A}

(המטריצה הצמודה המרוכבת)?

כלומר

P (x) = x^{4} + \overset{a_{3}}{ˉ} x^{3} + \overset{a_{2}}{ˉ} x^{2} + \overset{a_{1}}{ˉ} x + \overset{a_{0}}{ˉ}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2020 · סמסטר א

★★★★★

פולינום מינימלימטריצה נורמלית

ב.1. האם קיימת מטריצה ממשית ונורמלית שעבורה הפולינום האופייני הוא

t^{4} - 1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2020 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה נורמליתפולינום אופייניערכים עצמייםהוכחה

שאלות מטריצה נורמלית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מטריצה נורמלית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה נורמלית.