ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של אופרטורים
אופרטור צמוד אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי אופרטור אוניטרי אופרטור חיובי משפט הספקטרלי מטריצה סימטרית מטריצה הרמיטית מטריצה נורמלית
נסחו והוכיחו קריטריון נורמליות.
אוניברסיטת בר-אילן 2024 סמסטר א מועד ב | 2025 סמסטר ב מועד ב אופרטור נורמלי אופרטור צמוד הוכחה
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C , ותהי T : V → V הע"ל המקיימת T ∗ = T 2 + T + I . הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף): א. T צל"ע ב. T לא צל"ע ג. לכל λ ∈ C מתקיים: λ ע"ע של T עם ו"ע v ⟺ λ ˉ ע"ע של T ∗ עם ו"ע v .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור נורמלי אופרטור צמוד אופרטור הרמיטי ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך
הגדרה: יהי V מ"מ ממימד סופי מעל F , הע"ל T : V → V נקראת אידמפוטנטית אם היא מקיימת T = T 2 . א. (5 נקודות) יהי U ת"מ של V . הוכיחו כי העתקת ההיטל האו"ג ( π U ) היא אידמפוטנטית. ב. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. ב.i. (4 נקודות) האם T בהכרח לכסינה? ב.ii. (6 נקודות) הוכיחו ש- Im T = ker ( I − T ) . ג. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. נניח כי בנוסף T נורמלית. ג.i. (8 נקודות) הוכיחו כי T צמודה לעצמה. ג.ii. (11 נקודות) הוכיחו כי קיים ת"מ W ⊆ V המקיים: ( ∀ w ∈ W : T ( w ) = w ) ∧ ( ∀ u ∈ W ⊥ : T ( u ) = 0 )
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית לכסון אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי משלים אורתוגונלי הוכחה אידמפוטנטי
נגדיר טרנספורמציה לינארית T : M 2 × 2 R → M 2 × 2 R על ידי T ( A ) = A + 4 A t , לכל A ∈ M 2 × 2 R . מצאו את הפולינום המינימלי של T . האם T טרנספורמציה נורמלית הפיכה?
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
פולינום מינימלי אופרטור נורמלי העתקה לינארית
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל R ותהי T : V → V העתקה לינארית המקיימת T ∗ = − T . T ∗ T = T ( − T ) = − T 2 ו- T T ∗ = ( − T ) T = − T 2 , ולכן T נורמלי.
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמוד אופרטור נורמלי מרחב מכפלה פנימית
תהי A ∈ F n × n . אזי ( A אוניטרית ) אמ"מ ( A נורמלית וגם לכל ע"ע שלה λ מתקיים ∣ λ ∣ = 1 ) . הוכיחו/הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור אוניטרי אופרטור נורמלי ערכים עצמיים משפט הספקטרלי הוכחה
תהי T טרנספורמציה נורמלית במרחב אוניטרי V ממימד סופי. יהי v = 0 , v ∈ V . בדקו האם הווקטור T ∗ ( v ) מאונך ל- { S p ( v ) } ⊥ ? ( T ∗ מסמן את ההעתקה הצמודה של T .)
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
אופרטור צמוד אופרטור נורמלי משלים אורתוגונלי ערכים עצמיים
תהי T טרנספורמציה נורמלית במרחב אוניטרי V ממימד סופי. יהי v = 0 , v ∈ V . הוכיחו כי אם { S p ( v ) } ⊥ הוא T -שמור, אז v וקטור עצמי של T . נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
אופרטור נורמלי תת-מרחב אינווריאנטי ערכים עצמיים משלים אורתוגונלי הוכחה
(אין קשר לסעיפים קודמים) יהי V מרחב וקטורי ממימד סופי מעל C , ותהי T : V → V העתקה לינארית לכסינה . הוכיחו כי קיימת מכפלה פנימית על V שלפיה T נורמלית.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר ב
לכסון אופרטור נורמלי מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית בסיס אורתונורמלי הוכחה
יהי V ממ"פ מרוכב, תהי T : V → V ה"ל, ויהי f ∈ C [ x ] פולינום מתוקן. א. הוכיחו או הפריכו: אם T ה"ל יוניטרית אז בהכרח גם f ( T ) ה"ל יוניטרית. ב. הוכיחו או הפריכו: אם T ה"ל נורמלית אז בהכרח גם f ( T ) ה"ל נורמלית.
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2024 · סמסטר ב
אופרטור אוניטרי אופרטור נורמלי הוכח או הפרך פולינום מינימלי