תהי T:R2→R2 ההעתקה הלינארית T((x,y))=(3x+6y,−3x−3y).
(א) מצאו את הפולינום האופייני pT(x) ואת הערכים העצמיים של T.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום אופייניערכים עצמייםהעתקה לינארית
תהי A∈M4×4(R) מטריצה שהפולינום המינימלי שלה הוא mA(x)=(x−5)(x−3).
(א) הוכיחו כי A לכסינה.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום מינימלילכסוןערכים עצמיים
תהי A=(x1x3x2x4) מטריצה ממשית 2×2. נגדיר:
q(A)=det(At+A),p(A)=det(A−At)
(ב) מצאו מטריצות B1,B2 כך ש-q(x)=[x]EtB1[x]E ו-p(x)=[x]EtB2[x]E כאשר E הוא הבסיס הסטנדרטי של R4 ו-x=(x1,x2,x3,x4).
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורה ריבועיתמטריצה סימטריתמטריצת ייצוג
תהי A∈M4×4(R) מטריצה שהפולינום המינימלי שלה הוא mA(x)=(x−5)(x−3).
(ב) מצאו מטריצה A מסדר 4×4 שמקיימת את התנאים, והוכיחו ישירות כי (A−5I)(A−3I)=0.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
פולינום מינימליצורת ז'ורדןקיילי-המילטוןנילפוטנטי
נגדיר טרנספורמציה לינארית T:M2×2R→M2×2R על ידי T(A)=A+4At, לכל A∈M2×2R.
מצאו את הפולינום המינימלי של T. האם T טרנספורמציה נורמלית הפיכה?
האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א
פולינום מינימליאופרטור נורמליהעתקה לינארית
נגדיר טרנספורמציה לינארית T:M2×2R→M2×2R על ידי T(A)=A+4At, לכל A∈M2×2R.
האם לכל מספר שלם 1≤d≤4 קיים תת-מרחב W⊆M2×2R כך ש-T(W)⊆W ו-dimW=d? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א
תת-מרחב אינווריאנטיהעתקה לינאריתמימד
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל R ותהי T:V→V העתקה לינארית המקיימת T∗=−T.
(א) הוכיחו כי T∗T=T(−T)=−T2 ו-TT∗=(−T)T=−T2, ולכן T נורמלי.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמודאופרטור נורמלימרחב מכפלה פנימית
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל R ותהי T:V→V העתקה לינארית המקיימת T∗=−T. נגדיר S:V→V על ידי S(x)=x+aT(x) עבור a∈R.
(ב) הוכיחו כי S הפיכה.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמודהעתקה לינאריתמרחב מכפלה פנימית
תהי A=(x1x3x2x4) מטריצה ממשית 2×2. נגדיר:
q(A)=det(At+A),p(A)=det(A−At)
(א) חשבו את q(A) ו-p(A) כפונקציות של x1,x2,x3,x4.
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורה ריבועיתדטרמיננטהמטריצה סימטרית
תהי A=(5−28−3) עם צורת ז'ורדן J=(1011).
(ב) מצאו מטריצה C∈M2×2(C) כך ש-C2=J (כלומר C היא "שורש ריבועי" של J).
האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורת ז'ורדןבלוק ז'ורדן
שאלות אלגברה לינארית 2 באוניברסיטה הפתוחה עם פתרונות
מאגר מבחנים באלגברה לינארית 2 מהאוניברסיטה הפתוחה (אופ) - 1677 שאלות ממוינות לפי נושא ורמת קושי, עם פתרונות מלאים לבדיקה עצמית. השאלות מכסות מועדים לאורך השנים, כולל מבחנים מ-2023, 2024, 2025 ו-2026. נושאים מרכזיים: ערכים עצמיים, מכפלה פנימית, אופרטורים, צורת ז'ורדן, צורה ביליניארית. ניתן לסנן שאלות חוזרות, להתאמן על נושא ספציפי או להריץ סימולציית מבחן לפני הבחינה. הכנה לאלגברה לינארית 2 מתמקדת בלכסון, מרחבי מכפלה פנימית וצורת ז'ורדן. תרגול שאלות ממבחנים, עם דגש על שאלות חוזרות, הוא הדרך הכי יעילה ללימוד עצמי של הקורס.