ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של מכפלה פנימית
מרחב מכפלה פנימית אורתוגונליות תהליך גרם-שמידט בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי הטלה אורתוגונלית מטריצה אורתוגונלית מטריצה אוניטרית
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל C , ויהי W תת-מ"מ שלו. הוכיחו/הפריכו: לכל v ∈ V , w ∈ W מתקיים ⟨ v , w ⟩ = ⟨ π W ( v ) , w ⟩
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית מכפלה פנימית הוכח או הפרך משלים אורתוגונלי
נתבונן ב V = R 4 עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. יהיו u 1 := 1 1 1 1 , u 2 := 1 − 1 1 − 1 , u 3 := 1 1 − 1 − 1 ונגדיר U := sp { u 1 , u 2 , u 3 } . א. (10 נק') נסמן ב p את ההיטל של v = 2 3 1 0 על U . חשבו את p . ב. (8 נק') עבור p מהסעיף הקודם: מצאו וקטור 0 = w ∈ V המקיים ∥ w + p ∥ 2 = ∥ p ∥ 2 + ∥ w ∥ 2 . הוכיחו תשובתכם. ג. (6 נק') מצאו בסיס ומימד ל U ⊥ . הוכיחו תשובתכם. אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית הטלה אורתוגונלית אורתוגונליות בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי בסיס מימד
נתבוננ ב- V = R 4 עם המ"פ הסטנדרטית. ויהיו u 1 := 1 1 1 1 , u 2 := 1 − 1 1 − 1 , u 3 := 2 2 0 0 ונגדיר U := sp { u 1 , u 2 , u 3 } ונגדיר v := 2 3 1 0 . א. (10 נקודות) מצאו את הוקטור ב- U שהוא הכי קרוב ל- v (לפי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם. ב. (8 נקודות) יהי v ∈ V (לאו דווקא המוגדר בסעיף קודם). נסמן ב- p את הוקטור ב- U שהכי קרוב ל- v . הביאו בעזרת v , p בסיס אורתונורמלי ל- U ⊥ . הוכיחו תשובתכם. אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית מכפלה פנימית תהליך גרם-שמידט בסיס אורתונורמלי משלים אורתוגונלי
הגדרה: יהי V מ"מ ממימד סופי מעל F , הע"ל T : V → V נקראת אידמפוטנטית אם היא מקיימת T = T 2 . א. (5 נקודות) יהי U ת"מ של V . הוכיחו כי העתקת ההיטל האו"ג ( π U ) היא אידמפוטנטית. ב. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. ב.i. (4 נקודות) האם T בהכרח לכסינה? ב.ii. (6 נקודות) הוכיחו ש- Im T = ker ( I − T ) . ג. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. נניח כי בנוסף T נורמלית. ג.i. (8 נקודות) הוכיחו כי T צמודה לעצמה. ג.ii. (11 נקודות) הוכיחו כי קיים ת"מ W ⊆ V המקיים: ( ∀ w ∈ W : T ( w ) = w ) ∧ ( ∀ u ∈ W ⊥ : T ( u ) = 0 )
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית לכסון אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי משלים אורתוגונלי הוכחה אידמפוטנטי
הוכיחו/הפריכו: תהי A ∈ R n × n סימטרית, אזי C ( A ) = N ( A ) ⊥ .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
מטריצה סימטרית מרחב עמודות גרעין משלים אורתוגונלי הוכחה הוכח או הפרך
הוכיחו או הפריכו: יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל R ויהי U ≤ V תת-מרחב. יהי v ∈ V ונסמן ב- p את ההיטל של v על U . אזי: v ∈ U ⊥ ⟺ ∥ v + p ∥ = ∥ v − p ∥
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
הטלה אורתוגונלית משלים אורתוגונלי מכפלה פנימית הוכח או הפרך
נתונה הע"ל T : R 3 → R 3 על ידי המטריצה המייצגת הבאה ( S הינו הבסיס הסטנדרטי של R 3 ): [ T ] S S = 1 0 1 1 2 0 1 0 1 א. (7 נק') מצאו בסיס ומימד ל- ( ker T ) ⊥ (למי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם. ב. (6 נק') נגדיר T [ U ] := { T ( u ) ∣ u ∈ U } כאשר U := sp ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 1 , 1 2 0 ⎭ ⎬ ⎫ . האם T [ U ] ⊆ U ? הוכיחו תשובתכם. ג. (10 נק') האם קיים בסיס סדור E ל- R 3 כך ש- [ T ] E E היא מהצורה ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ? הוכיחו תשובתכם. (ה-"*" לאו דווקא שוות; בכל המקומות שרשום 0 יש בהכרח 0.) אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
מרחב עצמי ערכים עצמיים אורתוגונליות משלים אורתוגונלי תת-מרחב אינווריאנטי מטריצת ייצוג גרעין הוכחה
יהי a ∈ R . נתונות A 1 = ( a a a 0 ) , A 2 = ( 1 0 0 1 ) , A 3 = ( 0 1 1 0 ) , A 4 = ( 0 1 1 1 ) במרחב M 2 × 2 R . נסמן U = span { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } . מצאו בסיס של U ⊥ . האם קיים a כך שמטריצה M = ( tr ( A i ⋅ A j ) ) 1 ≤ i , j ≤ 4 הפיכה? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
מכפלה פנימית משלים אורתוגונלי בסיס אורתונורמלי עקבה מטריצת ייצוג
יהי V מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית ו- T : V → V אופרטור אידמפוטנט ( T 2 = T ). בסעיף זה נתון בנוסף כי Im T = ( ker T ) ⊥ . i. (8 נק') הוכיחו כי T הרמיטי. ii. (8 נק') נסמן ב- Π Im T את ההיטל (האו"ג) על Im T . הוכיחו כי T = Π Im T . iii. (8 נק') הוכיחו כי לכל v ∈ V מתקיים ∥ v ∥ ≥ ∥ T ( v ) ∥ וכי במקרה בו מתקיים שיוויון נובע ש- v ∈ Im T .
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
אופרטור הרמיטי הטלה אורתוגונלית משלים אורתוגונלי מכפלה פנימית אופרטורים הוכחה
תהי A ∈ R n × m . א. (6 נק) הוכיחו כי N ( A A t ) = N ( A t ) . ב. (8 נק) הוכיחו כי N ( A A t ) = ( C ( A ) ) ⊥ (במ"פ הסטנדרטית). ג. (8 נק) נניח בסעיף זה (בלבד) כי m > n . הוכיחו כי 0 הוא ע"ע של A A t עם ריבוי גיאומטרי n − rank A . ד. נניח שעמודות A הן קבוצה אורתונורמלית (ביחס למ"פ הסטנדרטית). (i) (2 נק) מה ניתן לומר על A t A ? (ii) (2 נק) הוכיחו כי לכל v ∈ R n מתקיים A A t v − v ∈ N ( A A t ) . (iii) (6 נק) הוכיחו כי לכל v ∈ R n מתקיים כי A A t v הוא הווקטור ב- C ( A ) הקרוב ביותר ל- v . כלומר, הוכיחו כי A A t v ∈ C ( A ) וכי לכל u ∈ C ( A ) מתקיים ∥ A A t v − v ∥ ≤ ∥ u − v ∥ .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
הטלה אורתוגונלית משלים אורתוגונלי מרחב וקטורי מטריצה אורתוגונלית הוכחה אופרטורים