איך לתרגל שאלות לכסון אורתוגונלי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות לכסון אורתוגונלי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות לכסון אורתוגונלי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות לכסון אורתוגונלי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על לכסון אורתוגונלי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

לכסון אורתוגונלי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא לכסון אורתוגונלי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - לכסון אורתוגונלי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של ערכים עצמיים

רמת קושי:

הגדרה: מטריצה

A \in R^{n \times n}

תיקרא סימטרית חיובית אם

A

סימטרית ובנוסף כל ערך עצמי

λ

של

A

מקיים

λ > 0

.

נתון (ללא הוכחה): לכל מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

, המטריצה

M^{t} M

סימטרית חיובית.

א. (10 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

כך ש

M^{t} M = B

.

ב. (6 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שלכל מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

מתקיים:

P^{t} B P

סימטרית חיובית.

ג. (5 נק') תהא

A \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

כך ש

P^{t} A P = I

.

ד.i (8 נק') תהי

S \in R^{n \times n}

סימטרית חיובית. הוכיחו

det (I + S) \geq det (I) + det (S)

.

ד.ii (6 נק') תהיינה

A, B \in R^{n \times n}

מטריצות סימטריות חיוביות. הוכיחו

det (A + B) \geq det (A) + det (B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונליאופרטור חיובידטרמיננטההוכחה

תהי

B \in R^{n \times n}

סימטרית שכל הע"ע שלה ממשיים אי-שליליים. הוכיחו כי קיימת מטריצה

C

סימטרית כך ש-

B = C^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליאופרטור חיוביהוכחה

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית חיובית. נניח שהצורה הריבועית

q (x) = x^{t} A x

מייצגת את הביטוי:

q (x) = x_{1} y_{1} + h x_{2} y_{2} - x_{3}^{2} y_{3} + x_{3}^{2} = x^{t} y

עבור ערכים מסוימים.
(ב) מצאו לכסון אורתוגונלי: מטריצה אורתוגונלית

U

כך ש-

U^{t} A U = diag (d_{1}, d_{2}, d_{3})

, ומצאו את הצורה הקנונית של

q

בבסיס החדש.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

לכסון אורתוגונליצורה ריבועיתמטריצה סימטריתבסיס אורתונורמלי

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית ותהי

q (x) = x^{t} A x

צורה ריבועית. הפולינום האופייני של

A

הוא

p_{A} (x) = x (x - 4) (x - 8)

. נתון כי

W = {x \in R^{3} ∣ q (x) = 0}

.
(ג) מצאו את

W

ואת מימדו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב עצמילכסון אורתוגונלימימד

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל

C

(נסמן את המ"פ ב-

⟨ \cdot, \cdot ⟩

), ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית צמודה לעצמה (צל"ע) כך שכל ערכיה העצמיים חיוביים ממש (גדולים מ-0).

בשאלה זו ניתן להסתמך על סעיפים קודמים גם אם לא פתרתם אותם.

א. (10 נק') הוכיחו כי קיימת הע"ל

R : V \to V

צל"ע כך ש-

T = R R^{*}

.

ב. (10 נק') עבור

T

הנ"ל, נגדיר מכפלה פנימית חדשה: לכל

v, u \in V

⟨ v, u ⟩^{'} := ⟨ T v, u ⟩

הוכיחו כי זוהי מכפלה פנימית על

V

.

ג. (12 נק') תהי

T

כנ"ל ותהי

S : V \to V

צל"ע. הוכיחו כי

S T

לכסינה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור חיובימכפלה פנימיתלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליהוכחה

נתבונן ב-

R^{3}

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. נגדיר העתקה לינארית

T : R^{3} \to R^{3}

בעזרת משפט ההגדרה:

T 110 = 220, T 010 = 020, T 001 = 000

א. מצאו בסיס אורתונורמלי

B

ל-

R^{3}

כך ש-

[T]_{B}^{B}

אלכסונית.

ב. מצאו את הווקטור ב-

(ker T)^{⊥}

שהכי קרוב ל-

011

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןלכסון אורתוגונליבסיס אורתונורמליהטלה אורתוגונליתמשלים אורתוגונליגרעיןמכפלה פנימיתהעתקה לינארית

הוכיחו את משפט 8 מהרשימה (מעל הממשיים): תהי

A

מטריצה ריבועית ממשית. אז

A

ניתנת לשילוש אורתוגונלי אמ"מ

A

ניתנת לשילוש מעל

R

.
הערה: ניתן להשתמש ללא הוכחה בתכונות של פירוק QR.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלימטריצה אורתוגונליתהוכחה

יהיו

a, b \in R

. נגדיר מטריצה

A = (a_{ij})_{1 \leq i, j \leq 2} \in M_{2 \times 2}^{R}

על ידי:

a_{ij} = {a, b, i = j i \neq = j

נגדיר פונקציה

q : R^{2} \to R

על ידי

q (v) = v^{T} A v

, לכל וקטור

v = (x _{2} x _{1}) \in R^{2}

.

ב. בדקו האם

(a - b) ∥ v ∥^{2} \leq q (v) \leq (a + b) ∥ v ∥^{2}

, לכל וקטור

v \in R^{2}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ריבועיתמכפלה פנימיתמטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונליהוכחה

נתבונן ב-

R^{4}

עם מ"פ סטנדרטית. נגדיר

T : R^{4} \to R^{4}

לפי משפט ההגדרה:

T 1010 = 2020, T 0101 = 0303, T - 2 - 1 21 = T - 1 - 1 11 = 0000

א. (6 נק') מצאו בסיס אורתונורמלי

B

ומטריצה אלכסונית

D \in R^{4 \times 4}

כך ש-

[T]_{B}^{B} = D

.

ב. (10 נק') מצאו את הוקטור ב-

ker T

הכי קרוב ל-

v = 1234

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

לכסון אורתוגונליבסיס אורתונורמליערכים עצמייםוקטורים עצמייםהטלה אורתוגונליתתהליך גרם-שמידטמכפלה פנימית

תהי

M \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית שכל הערכים העצמיים שלה חיוביים (גדולים ממש מ-

0

).

א. (10 נק) הוכיחו כי קיימת מטריצה

R

הפיכה כך ש-

R R^{t} = M

.

ב. (10 נק) תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה הפיכה

C \in R^{n \times n}

כך ש:

C^{t} M C = I וגם C^{t} A C היא אלכסונית

ג. הגדרה. תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

. נאמר כי

λ \in C

הוא

M

-ע"ע אם קיים

0 \neq = v \in C^{n}

כך ש-

A v = λ M v

. וקטור

v

כזה יקרא

M

-ו"ע של

A

המתאים ל-

λ

.

תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

סימטרית.

ג.י. (10 נק) הוכיחו שכל ה-

M

-ע"ע של

A

הם ממשיים.

ג.יי. (7 נק) הוכיחו שקיים בסיס של

R^{n}

המורכב מ-

M

-ו"ע של

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםוקטורים עצמייםמטריצה אורתוגונליתלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליהוכחה

שאלות לכסון אורתוגונלי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא לכסון אורתוגונלי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא לכסון אורתוגונלי.