איך לתרגל שאלות מטריצה אורתוגונלית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצה אורתוגונלית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מטריצה אורתוגונלית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצה אורתוגונלית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצה אורתוגונלית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מטריצה אורתוגונלית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצה אורתוגונלית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מטריצה אורתוגונלית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מכפלה פנימית

רמת קושי:

(בונוס) מצאו פירוק SVD של המטריצה

A = 200012

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

פירוק SVDפירוק ערכים סינגולרייםערכים עצמייםמטריצה אורתוגונלית

בונוס בנושא SVD: (5 נקודות) מצאו פירוק SVD של המטריצה

A = 200012

שאלה זו תבדק רק במידה ועברתם את הבחינה גם בלעדיה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

פירוק SVDפירוק ערכים סינגולרייםמטריצה אורתוגונלית

מצאו פירוק

S V D

של המטריצה

A = 211121

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פירוק SVDפירוק ערכים סינגולרייםערכים עצמייםמטריצה אורתוגונלית

מצאו פירוק

S V D

של המטריצה:

A = 211121

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פירוק SVDפירוק ערכים סינגולרייםמטריצה אורתוגונלית

תהי

A \in R^{n \times m}

.

א. (6 נק) הוכיחו כי

N (A A^{t}) = N (A^{t})

.

ב. (8 נק) הוכיחו כי

N (A A^{t}) = (C (A))^{⊥}

(במ"פ הסטנדרטית).

ג. (8 נק) נניח בסעיף זה (בלבד) כי

m > n

. הוכיחו כי

0

הוא ע"ע של

A A^{t}

עם ריבוי גיאומטרי

n - rank A

.

ד. נניח שעמודות

A

הן קבוצה אורתונורמלית (ביחס למ"פ הסטנדרטית).

(i) (2 נק) מה ניתן לומר על

A^{t} A

(ii) (2 נק) הוכיחו כי לכל

v \in R^{n}

מתקיים

A A^{t} v - v \in N (A A^{t})

(iii) (6 נק) הוכיחו כי לכל

v \in R^{n}

מתקיים כי

A A^{t} v

הוא הווקטור ב-

C (A)

הקרוב ביותר ל-

v

. כלומר, הוכיחו כי

A A^{t} v \in C (A)

וכי לכל

u \in C (A)

מתקיים

∥ A A^{t} v - v ∥ \leq ∥ u - v ∥

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

הטלה אורתוגונליתמשלים אורתוגונלימרחב וקטורימטריצה אורתוגונליתהוכחהאופרטורים

תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית עם

T (x) = A x

. נתון כי

A

ו-

B

מטריצות סימטריות ומתקיים:

Q^{t} A B A = Q^{t} B A Q

לכל מטריצה אורתוגונלית

Q

.
(ג) הוכיחו כי

A B = B A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתמטריצה אורתוגונליתהוכחה

הוכיחו את משפט 8 מהרשימה (מעל הממשיים): תהי

A

מטריצה ריבועית ממשית. אז

A

ניתנת לשילוש אורתוגונלי אמ"מ

A

ניתנת לשילוש מעל

R

.
הערה: ניתן להשתמש ללא הוכחה בתכונות של פירוק QR.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלימטריצה אורתוגונליתהוכחה

תהי

A

מטריצה ריבועית ממשית וסימטרית מסדר

n

. תהי

q (x) = x^{T} A x, q : R^{n} \to R

התבנית הריבועית הממשית החיובית לחלוטין (המיוצגת ע"י

A

בבסיס הסטנדרטי).
הוכיחו כי המטריצה

A

היא אורתוגונלית אם ורק אם היא שווה למטריצת היחידה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה98 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמטריצה סימטריתמטריצה אורתוגונליתערכים עצמייםהוכחה

תהי

M \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית שכל הערכים העצמיים שלה חיוביים (גדולים ממש מ-

0

).

א. (10 נק) הוכיחו כי קיימת מטריצה

R

הפיכה כך ש-

R R^{t} = M

.

ב. (10 נק) תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה הפיכה

C \in R^{n \times n}

כך ש:

C^{t} M C = I וגם C^{t} A C היא אלכסונית

ג. הגדרה. תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

. נאמר כי

λ \in C

הוא

M

-ע"ע אם קיים

0 \neq = v \in C^{n}

כך ש-

A v = λ M v

. וקטור

v

כזה יקרא

M

-ו"ע של

A

המתאים ל-

λ

.

תהי

M

כנ"ל ותהי

A \in R^{n \times n}

סימטרית.

ג.י. (10 נק) הוכיחו שכל ה-

M

-ע"ע של

A

הם ממשיים.

ג.יי. (7 נק) הוכיחו שקיים בסיס של

R^{n}

המורכב מ-

M

-ו"ע של

A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםוקטורים עצמייםמטריצה אורתוגונליתלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליהוכחה

יהי

φ : R^{3} \to R^{3}

אופרטור ליניארי במרחב אוקלידי סטנדרטי

R^{3}

אשר בבסיס סטנדרטי מיוצג על ידי המטריצה

A = 1/2 1/2 2 /2 1/2 1/2 - 2 /2 - 2 /2 2 /2 0 .

(א) הוכח ש-

φ

איזומטריה.

(ב) הוכח ש-

φ

סיבוב לגבי ציר. מצאו את ציר וזווית הסיבוב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

איזומטריהאופרטור אוניטרימטריצה אורתוגונליתסיבובציר סיבובזווית סיבובערכים עצמייםוקטורים עצמייםדטרמיננטהעקבה

שאלות מטריצה אורתוגונלית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מטריצה אורתוגונלית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה אורתוגונלית.