איך לתרגל שאלות אורתוגונליות באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אורתוגונליות באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אורתוגונליות יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אורתוגונליות באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אורתוגונליות לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

אורתוגונליות הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אורתוגונליות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - אורתוגונליות

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מכפלה פנימית

רמת קושי:

נתבונן ב

V = R^{4}

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. יהיו

u_{1} := 1111, u_{2} := 1 - 1 1 - 1, u_{3} := 11 - 1 - 1

ונגדיר

U := sp {u_{1}, u_{2}, u_{3}}

.

א. (10 נק') נסמן ב

p

את ההיטל של

v = 2310

על

U

. חשבו את

p

.

ב. (8 נק') עבור

p

מהסעיף הקודם: מצאו וקטור

0 \neq = w \in V

המקיים

∥ w + p ∥^{2} = ∥ p ∥^{2} + ∥ w ∥^{2}

. הוכיחו תשובתכם.

ג. (6 נק') מצאו בסיס ומימד ל

U^{⊥}

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתאורתוגונליותבסיס אורתונורמלימשלים אורתוגונליבסיסמימד

נסחו והוכיחו את משפט פיתגורס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתאורתוגונליותהוכחה

תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית עם

T (x) = A x

כאשר

A

סימטרית. נתון כי

A

חיובית (כלומר

x^{t} A x > 0

לכל

x \neq = 0

).
(ב) הוכיחו כי

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

(אי-שוויון קושי-שוורץ) ביחס למכפלה הפנימית

⟨ x, y ⟩ = (A x)^{t} y = x^{t} A y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתאופרטור חיוביאורתוגונליות

נתונה הע"ל

T : R^{3} \to R^{3}

על ידי המטריצה המייצגת הבאה (

S

הינו הבסיס הסטנדרטי של

R^{3}

[T]_{S}^{S} = 101120101

א. (7 נק') מצאו בסיס ומימד ל-

(ker T)^{⊥}

(למי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם.

ב. (6 נק') נגדיר

T [U] := {T (u) ∣ u \in U}

כאשר

U := sp ⎩ ⎨ ⎧ 101, 120 ⎭ ⎬ ⎫

. האם

T [U] \subseteq U

? הוכיחו תשובתכם.

ג. (10 נק') האם קיים בסיס סדור

E

ל-

R^{3}

כך ש-

[T]_{E}^{E}

היא מהצורה

* * 0 * * 0 00 *

? הוכיחו תשובתכם. (ה-"*" לאו דווקא שוות; בכל המקומות שרשום 0 יש בהכרח 0.)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב עצמיערכים עצמייםאורתוגונליותמשלים אורתוגונליתת-מרחב אינווריאנטימטריצת ייצוגגרעיןהוכחה

יהיו

w_{1} \in R^{4}, w_{2} \in R^{4}

וקטורים המקיימים:

⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = 0

∥ w_{1} ∥ = ∥ w_{2} ∥ = 1

.

יהי

a \in R

. נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : R^{4} \to R^{4}

על ידי

T (v) = v - a ⟨ v, w_{1} ⟩ w_{1} - a ⟨ v, w_{2} ⟩ w_{2}

.

נתון

a = 2

. בדקו האם

T

טרנספורמציה לינארית אוניטרית. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 92 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

אופרטור אוניטרימכפלה פנימיתאורתוגונליות

תהי

T : R^{3} \to R^{3}

טרנספורמציית ההיטל האורתוגונלי על המישור

S = {(x, y, z) \in R^{3} : x + 2 y - 2 z = 0}

.

מצאו 5 תת-מרחבים

T

-שמורים לא טריוויאליים של

R^{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתתת-מרחב אינווריאנטיאורתוגונליותמרחב עצמיערכים עצמיים

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל

C

, ויהיו

U, W

תת-מרחבים של

V

. נסמן ב-

π_{U}, π_{W}

את ההיטל האורתוגונלי על

U, W

בהתאמה. (ההיטל

π_{U} : V \to U

מוחזר ההיטל של

v

על

U

לכל קלט

v \in V

; בדומה עבור

W

. אין צורך להוכיח שאלו ה"ע לינאריות.)

הוכיחו:

π_{U} π_{W} = 0 ⟺ \forall u \in U, \forall w \in W : ⟨ u, w ⟩ = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתאורתוגונליותמשלים אורתוגונלימכפלה פנימיתהוכחה

בשאלה זו נעסוק במ"ו

V = R_{\leq 1} [x]

(כלומר פולינומים ממעלה 1 לכל היותר) ונגדיר עבורו את המ"פ

⟨ f, g ⟩ = \int_{- t}^{t} f (x) g (x) d x

כאשר

0 < t

פרמטר לא ידוע. ניתן להניח (ואין צורך להוכיח) שזו אכן מ"פ.

סעיף א' (10 נק')

ידוע שהווקטורים

f_{1} (x) = 1 - x

f_{2} (x) = 1 + x

הם בסיס אורתוגונלי של

V

(ביחס למ"פ החדשה).

מצאו את ערכו של

t

והסבירו כיצד עשיתם זאת.

סעיף ב' (10 נק')

האם הה"ל

T : V \to V

שמוגדרת ע"י

T f = f + f^{'}

היא יוניטרית (ביחס למ"פ החדשה)? נמקו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתבסיס אורתוגונליאורתוגונליותאופרטור אוניטריהעתקה לינאריתדוגמה נגדית

יהי

R_{2} [x] = {a + b x : a, b \in R}

. נסמן

u = 2 - x

v = 5 - 2 x

.

מצאו מכפלה פנימית במרחב

R_{2} [x]

כך שהקבוצה

B = {u, v}

מהווה בסיס אורתונורמלי של

R_{2} [x]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה94 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתבסיס אורתונורמלימרחב מכפלה פנימיתאורתוגונליות

יהיו

V_{1}, V_{2}, V_{3}

תת-מרחבים של

V = C^{n}

.

האם

n = 2

ו-

V_{1} \oplus V_{2} = V

גורר

V_{1}^{⊥} \oplus V_{2}^{⊥} = V

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה94 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתמשלים אורתוגונליאורתוגונליותמרחב וקטוריהוכח או הפרך

שאלות אורתוגונליות באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא אורתוגונליות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אורתוגונליות.