איך לתרגל שאלות בסיס אורתונורמלי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות בסיס אורתונורמלי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות בסיס אורתונורמלי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות בסיס אורתונורמלי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על בסיס אורתונורמלי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

בסיס אורתונורמלי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא בסיס אורתונורמלי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - בסיס אורתונורמלי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מכפלה פנימית

רמת קושי:

נתבונן ב

V = R^{4}

עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית. יהיו

u_{1} := 1111, u_{2} := 1 - 1 1 - 1, u_{3} := 11 - 1 - 1

ונגדיר

U := sp {u_{1}, u_{2}, u_{3}}

.

א. (10 נק') נסמן ב

p

את ההיטל של

v = 2310

על

U

. חשבו את

p

.

ב. (8 נק') עבור

p

מהסעיף הקודם: מצאו וקטור

0 \neq = w \in V

המקיים

∥ w + p ∥^{2} = ∥ p ∥^{2} + ∥ w ∥^{2}

. הוכיחו תשובתכם.

ג. (6 נק') מצאו בסיס ומימד ל

U^{⊥}

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתאורתוגונליותבסיס אורתונורמלימשלים אורתוגונליבסיסמימד

נתבוננ ב-

V = R^{4}

עם המ"פ הסטנדרטית. ויהיו

u_{1} := 1111, u_{2} := 1 - 1 1 - 1, u_{3} := 2200

ונגדיר

U := sp {u_{1}, u_{2}, u_{3}}

ונגדיר

v := 2310

.

א. (10 נקודות) מצאו את הוקטור ב-

U

שהוא הכי קרוב ל-

v

(לפי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם.

ב. (8 נקודות) יהי

v \in V

(לאו דווקא המוגדר בסעיף קודם). נסמן ב-

p

את הוקטור ב-

U

שהכי קרוב ל-

v

. הביאו בעזרת

v, p

בסיס אורתונורמלי ל-

U^{⊥}

. הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתמכפלה פנימיתתהליך גרם-שמידטבסיס אורתונורמלימשלים אורתוגונלי

יהי

V

מ"מ ממ"פ נ"ס מעל

C

. לכל

x, y \in V

נגדיר הע"ל

T_{x y} : V \to V

באופן הבא:

\forall v \in V T_{x y} (v) := ⟨ v, x ⟩ y

א. (9 נקודות) יהיו

x, y \in V

. מצאו את

T_{x y}^{*}

במפורש (כלומר, למה שווה

T_{x y}^{*} (v)

עבור

v

שרירותי ב-

V

). הוכיחו.

ב. (8 נקודות) יהיו

x, y \in V

. הוכיחו כי:

T_{x y}

צל"ע אם ורק אם קיים

α \in R

(ממשי) כך ש-

x = α y

או

y = α x

.

ג. (8 נקודות) יהי

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}

בסיס או"נ של

V

. הוכיחו כי לכל

v \in V

מתקיים:

v = i = 1 \sum n ⟨ v, v_{i} ⟩ v_{i}

ד. (8 נקודות) תהי

T : V \to V

הע"ל. נסמן ב-

k

את המימד של

Im T

(נניח

k \geq 1

). הוכיחו כי קיימות

k

הע"ל מהצורה

T_{x_{1} y_{1}}, \dots, T_{x_{k} y_{k}}

כך ש:

T = T_{x_{1} y_{1}} + \dots + T_{x_{k} y_{k}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודבסיס אורתונורמלימכפלה פנימיתהטלה אורתוגונליתהעתקה לינאריתהוכחהמימד

נסחו והוכיחו את משפט ההצגה של ריס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתאוניברסיטת בר-אילן2025 סמסטר א מועד ב | 2025 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתבסיס אורתונורמליהוכחה

יהי

a \in R

. נתונות

A_{1} = (a a a 0)

A_{2} = (1001)

A_{3} = (0110)

A_{4} = (0111)

במרחב

M_{2 \times 2}^{R}

.

נסמן

U = span {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}}

. מצאו בסיס של

U^{⊥}

. האם קיים

a

כך שמטריצה

M = (tr (A_{i} \cdot A_{j}))_{1 \leq i, j \leq 4}

הפיכה? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתמשלים אורתוגונליבסיס אורתונורמליעקבהמטריצת ייצוג

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית חיובית. נניח שהצורה הריבועית

q (x) = x^{t} A x

מייצגת את הביטוי:

q (x) = x_{1} y_{1} + h x_{2} y_{2} - x_{3}^{2} y_{3} + x_{3}^{2} = x^{t} y

עבור ערכים מסוימים.
(ב) מצאו לכסון אורתוגונלי: מטריצה אורתוגונלית

U

כך ש-

U^{t} A U = diag (d_{1}, d_{2}, d_{3})

, ומצאו את הצורה הקנונית של

q

בבסיס החדש.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

לכסון אורתוגונליצורה ריבועיתמטריצה סימטריתבסיס אורתונורמלי

יהי

V

ממ"פ מרוכב ממימד

n \geq 3

, תהי

T : V \to V

ה"ל, ויהי

B = {u_{1}, \dots, u_{n}}

בסיס אורתונורמלי של

V

.
הוכיחו או הפריכו: אם

T u_{j} ⊥ u_{j}

לכל

j = 1, \dots, n

אז

T = 0_{V}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

בסיס אורתונורמלימרחב מכפלה פנימיתהוכח או הפרך

(אין קשר לסעיפים קודמים) יהי

V

מרחב וקטורי ממימד סופי מעל

C

, ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית לכסינה. הוכיחו כי קיימת מכפלה פנימית על

V

שלפיה

T

נורמלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןאופרטור נורמלימכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתבסיס אורתונורמליהוכחה

יהיו

V, W

מרחבי מכפלה פנימית (ייתכן מכפלות פנימיות שונות) ממימד סופי מעל שדה

F

. נאמר ש-

V, W

איזומורפיים בתור מרחבי מכפלה פנימית אם קיימת העתקה לינארית הפיכה

T : V \to W

כך שלכל

v, u \in V

⟨ v, u ⟩_{V} = ⟨ T (v), T (u) ⟩_{W}

הוכיחו כי

V, W

איזומורפיים בתור מרחבי מכפלה פנימית אם ורק אם

dim V = dim W

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתבסיס אורתונורמליתהליך גרם-שמידטהוכחה

יהיו

V, W

מרחבי מכפלה פנימית מעל שדה

F

, ויהיו

B, B^{'}

בסיסים אורתונורמליים סדורים של

V

ו-

W

(בהתאמה). תהי

T : V \to W

העתקה לינארית. הוכיחו כי:

[T^{*}]_{B}^{B^{'}} = ([T]_{B^{'}}^{B})^{*}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור צמודמטריצת ייצוגמכפלה פנימיתבסיס אורתונורמליהוכחה

שאלות בסיס אורתונורמלי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא בסיס אורתונורמלי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא בסיס אורתונורמלי.