איך לתרגל שאלות אופרטור חיובי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטור חיובי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטור חיובי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטור חיובי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטור חיובי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

אופרטור חיובי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטור חיובי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - אופרטור חיובי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

הגדרה: מטריצה

A \in R^{n \times n}

תיקרא סימטרית חיובית אם

A

סימטרית ובנוסף כל ערך עצמי

λ

של

A

מקיים

λ > 0

.

נתון (ללא הוכחה): לכל מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

, המטריצה

M^{t} M

סימטרית חיובית.

א. (10 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

כך ש

M^{t} M = B

.

ב. (6 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שלכל מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

מתקיים:

P^{t} B P

סימטרית חיובית.

ג. (5 נק') תהא

A \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

כך ש

P^{t} A P = I

.

ד.i (8 נק') תהי

S \in R^{n \times n}

סימטרית חיובית. הוכיחו

det (I + S) \geq det (I) + det (S)

.

ד.ii (6 נק') תהיינה

A, B \in R^{n \times n}

מטריצות סימטריות חיוביות. הוכיחו

det (A + B) \geq det (A) + det (B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונליאופרטור חיובידטרמיננטההוכחה

נתונה

A = 2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

. נגדיר פונקציה

f : R^{3} \to R

על ידי

f (x) = ⟨ A x, x ⟩

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו את הפולינום האופייני של

A

. האם

f (x) \geq 0

לכל וקטור

x \in R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פולינום אופייניערכים עצמייםצורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית. נגדיר צורה ריבועית

q : R^{3} \to R

על ידי

q (x) = x^{t} A x

. נתון כי

q

חיובית (כלומר

q (x) > 0

לכל

x \neq = 0

).
(א) הוכיחו כי

A

חיובית באמצעות המינורים המובילים (קריטריון סילבסטר). נתון

m > 0

; הוכיחו כי

Δ_{1} > 0

Δ_{2} > 0

Δ_{3} > 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית עם

T (x) = A x

כאשר

A = [T]_{E}

. תהי

⟨ \cdot, \cdot ⟩

המכפלה הפנימית הסטנדרטית. הוכיחו כי

⟨ T (x), y ⟩ = ⟨ A x, y ⟩

לכל

x, y \in R^{2}

, ושהתנאי

⟨ T (x), y ⟩ \geq 0

לכל

x, y

שקול לכך ש-

A

חיובית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

B \in R^{n \times n}

סימטרית שכל הע"ע שלה ממשיים אי-שליליים. הוכיחו כי קיימת מטריצה

C

סימטרית כך ש-

B = C^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליאופרטור חיוביהוכחה

נתונות

A

ו-

B

מטריצות חיוביות לחלוטין. האם הסכום

A + t^{2} B

מטריצה הפיכה, לכל

t

ממשי? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור חיוביערכים עצמייםמטריצה סימטרית

תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית עם

T (x) = A x

כאשר

A

סימטרית. נתון כי

A

חיובית (כלומר

x^{t} A x > 0

לכל

x \neq = 0

).
(ב) הוכיחו כי

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

(אי-שוויון קושי-שוורץ) ביחס למכפלה הפנימית

⟨ x, y ⟩ = (A x)^{t} y = x^{t} A y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתאופרטור חיוביאורתוגונליות

נתונות

M \in M_{3 \times 3}^{R}

ו-

N \in M_{3 \times 3}^{R}

מטריצות ממשיות סימטריות אשר הפולינום האופייני שלהן שווה ל-

p_{N} (t) = t^{3} + 2 t^{2} + t

ו-

p_{M} (t) = t^{3} - t

בהתאמה.

האם בהכרח הסכום

M^{2} + N^{2}

מטריצה חיובית לחלוטין? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור חיוביערכים עצמייםמטריצה סימטרית

נגדיר פונקציה

p : R^{3} \to R

על ידי

p (x) = 2 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו מטריצה סימטרית

A

כך ש-

p (x) = x^{t} A x

, לכל וקטור

x \in R^{3}

. האם הפונקציה

F : R^{3} \times R^{3} \to R

המוגדרת על ידי

F (x, y) = \frac{1}{2} (p (x + y) - p (x) - p (y))

מהווה מכפלה פנימית במרחב

R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתצורה ביליניאריתמכפלה פנימיתמטריצה סימטריתאופרטור חיובי

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל

C

(נסמן את המ"פ ב-

⟨ \cdot, \cdot ⟩

), ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית צמודה לעצמה (צל"ע) כך שכל ערכיה העצמיים חיוביים ממש (גדולים מ-0).

בשאלה זו ניתן להסתמך על סעיפים קודמים גם אם לא פתרתם אותם.

א. (10 נק') הוכיחו כי קיימת הע"ל

R : V \to V

צל"ע כך ש-

T = R R^{*}

.

ב. (10 נק') עבור

T

הנ"ל, נגדיר מכפלה פנימית חדשה: לכל

v, u \in V

⟨ v, u ⟩^{'} := ⟨ T v, u ⟩

הוכיחו כי זוהי מכפלה פנימית על

V

.

ג. (12 נק') תהי

T

כנ"ל ותהי

S : V \to V

צל"ע. הוכיחו כי

S T

לכסינה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור חיובימכפלה פנימיתלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליהוכחה

שאלות אופרטור חיובי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא אופרטור חיובי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטור חיובי.