הוכיחו/הפריכו: אם A ∈ C n × n אוניטרית, אזי ∣ det A ∣ = 1 .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
אופרטור אוניטרי מטריצה אוניטרית דטרמיננטה הוכח או הפרך הוכחה
תהי A = 0 − a − b a 0 − c b c 0 ∈ M 3 ( R ) . (א) הוכיחו כי A ניתנת ללכסון מעל R אם ורק אם a = b = c = 0 . (ב) מצאו מטריצה אלכסונית ב- M 3 ( C ) אשר דומה ל- A . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים פולינום אופייני הוכחה אופרטור צמוד מטריצה אנטי-סימטרית
נסחו והוכיחו קריטריון נורמליות.
אוניברסיטת בר-אילן 2024 סמסטר א מועד ב | 2025 סמסטר ב מועד ב אופרטור נורמלי אופרטור צמוד הוכחה
תהי A ∈ R m × n ויהי λ ∈ R . ב. הוכיחו/הפריכו: אם λ = 0 , אזי λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A . ג. הוכיחו/הפריכו: λ ערך עצמי של A A t ⟺ λ ערך עצמי של A t A (ללא הנחה על λ ).
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכח או הפרך הוכחה דוגמה נגדית
יהי V ממ"פ מעל C ונגדיר W = V × V ואת ⟨( u , v ) , ( u ′ , v ′ ) ⟩ 2 = ⟨ u , u ′ ⟩ + ⟨ v , v ′ ⟩ . (א) הראו כי ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 2 היא מכפלה פנימית ב- W . (ב) בהינתן העתקה לינארית T : V → V נגדיר את S : W → W על ידי S ( u , v ) = ( i T v , − i T ∗ u ) . הראו כי S צמודה לעצמה. (ג) מצאו את הקשר בין הע"ע והו"ע של S לבין הע"ע והו"ע של T ∗ ושל T T ∗ T .
אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית אופרטור צמוד ערכים עצמיים וקטורים עצמיים הוכחה
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C . לכל x , y ∈ V נגדיר הע"ל T x y : V → V באופן הבא: ∀ v ∈ V T x y ( v ) := ⟨ v , x ⟩ y א. (9 נקודות) יהיו x , y ∈ V . מצאו את T x y ∗ במפורש (כלומר, למה שווה T x y ∗ ( v ) עבור v שרירותי ב- V ). הוכיחו. ב. (8 נקודות) יהיו x , y ∈ V . הוכיחו כי: T x y צל"ע אם ורק אם קיים α ∈ R (ממשי) כך ש- x = α y או y = α x . ג. (8 נקודות) יהי B = { v 1 , … , v n } בסיס או"נ של V . הוכיחו כי לכל v ∈ V מתקיים: v = i = 1 ∑ n ⟨ v , v i ⟩ v i ד. (8 נקודות) תהי T : V → V הע"ל. נסמן ב- k את המימד של Im T (נניח k ≥ 1 ). הוכיחו כי קיימות k הע"ל מהצורה T x 1 y 1 , … , T x k y k כך ש: T = T x 1 y 1 + … + T x k y k אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמוד בסיס אורתונורמלי מכפלה פנימית הטלה אורתוגונלית העתקה לינארית הוכחה מימד
תהי A ∈ R n × n עם n ע"ע ממשיים שונים, ותהי B ∈ R n × n הפיכה המתחלפת עם A (כלומר A B = B A ). א. (9 נקודות) יהי v ו"ע של A . הוכיחו ש- B v גם הוא ו"ע של A . ב. (12 נקודות) האם B לכסינה מעל R ?
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי הוכחה
יהי F שדה. (א) יהי p ( x ) = x n + ∑ j = 0 n − 1 a j x j = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) d k ∈ F [ x ] פולינום כאשר λ i = λ j עבור i = j . קבעו מהי צורת ז'ורדן של המטריצה הבאה: 0 1 − a 0 0 1 − a 1 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 − a n − 2 − a n − 1 (ב) נניח כי השדה F הוא בן k איברים ויהי k ≥ n . הראו כי המטריצה A ∈ M n ( F ) הנתונה על ידי A = 0 1 1 0 1 0 ⋱ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 איננה לכסינה מעל F . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2025 · סמסטר ב
לכסון פולינום אופייני ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי צורת ז'ורדן הוכחה
הגדרה: מטריצה A ∈ R n × n תיקרא סימטרית חיובית אם A סימטרית ובנוסף כל ערך עצמי λ של A מקיים λ > 0 . נתון (ללא הוכחה): לכל מטריצה הפיכה M ∈ R n × n , המטריצה M t M סימטרית חיובית. א. (10 נק') תהא B ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה M ∈ R n × n כך ש M t M = B . ב. (6 נק') תהא B ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שלכל מטריצה הפיכה P ∈ R n × n מתקיים: P t B P סימטרית חיובית. ג. (5 נק') תהא A ∈ R n × n מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה P ∈ R n × n כך ש P t A P = I . ד.i (8 נק') תהי S ∈ R n × n סימטרית חיובית. הוכיחו det ( I + S ) ≥ det ( I ) + det ( S ) . ד.ii (6 נק') תהיינה A , B ∈ R n × n מטריצות סימטריות חיוביות. הוכיחו det ( A + B ) ≥ det ( A ) + det ( B ) .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
מטריצה סימטרית ערכים עצמיים לכסון אורתוגונלי אופרטור חיובי דטרמיננטה הוכחה
הגדרה: יהי V מ"מ ממימד סופי מעל F , הע"ל T : V → V נקראת אידמפוטנטית אם היא מקיימת T = T 2 . א. (5 נקודות) יהי U ת"מ של V . הוכיחו כי העתקת ההיטל האו"ג ( π U ) היא אידמפוטנטית. ב. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. ב.i. (4 נקודות) האם T בהכרח לכסינה? ב.ii. (6 נקודות) הוכיחו ש- Im T = ker ( I − T ) . ג. יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R , ותהי T : V → V הע"ל אידמפוטנטית. נניח כי בנוסף T נורמלית. ג.i. (8 נקודות) הוכיחו כי T צמודה לעצמה. ג.ii. (11 נקודות) הוכיחו כי קיים ת"מ W ⊆ V המקיים: ( ∀ w ∈ W : T ( w ) = w ) ∧ ( ∀ u ∈ W ⊥ : T ( u ) = 0 )
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונלית לכסון אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי משלים אורתוגונלי הוכחה אידמפוטנטי