הוכיחו/הפריכו: אם A∈Cn×n אוניטרית, אזי ∣detA∣=1.
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב
אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתדטרמיננטההוכח או הפרךהוכחה
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל C, ויהי W תת-מ"מ שלו. הוכיחו/הפריכו: לכל v∈V,w∈W מתקיים
⟨v,w⟩=⟨πW(v),w⟩
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב
הטלה אורתוגונליתמכפלה פנימיתהוכח או הפרךמשלים אורתוגונלי
תהי A∈Rm×n ויהי λ∈R.
ב. הוכיחו/הפריכו: אם λ=0, אזי λ ערך עצמי של AAt⟺λ ערך עצמי של AtA.
ג. הוכיחו/הפריכו: λ ערך עצמי של AAt⟺λ ערך עצמי של AtA (ללא הנחה על λ).
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב
ערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרךהוכחהדוגמה נגדית
יהי V מ"מ ממ"פ נ"ס מעל C, ותהי T:V→V הע"ל המקיימת T∗=T2+T+I.
הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (7 נקודות לסעיף):
א. T צל"ע
ב. T לא צל"ע
ג. לכל λ∈C מתקיים: λ ע"ע של T עם ו"ע v⟺λˉ ע"ע של T∗ עם ו"ע v.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב
אופרטור נורמליאופרטור צמודאופרטור הרמיטיערכים עצמייםוקטורים עצמייםהוכח או הפרך
יהי V מ"מ ממימד סופי מעל R. ויהי T:V→V אופרטור אנטי-צל"ע, כלומר T=−T∗. הוכיחו/הפריכו:
א. T לכסין
ב. T2 לכסין
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור צמודלכסוןערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדיתאופרטור הרמיטי
הוכיחו/הפריכו: תהי A∈Rn×n כך ש-A2=A, אזי tr(A)=rank(A).
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א
ערכים עצמייםלכסוןעקבהדרגההוכחההוכח או הפרך
הוכיחו או הפריכו: תהי A∈R2×2 המקיימת ∣A∣=0 וגם A2=0. אזי A לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א
לכסוןערכים עצמייםדטרמיננטההוכח או הפרך
הוכיחו או הפריכו: תהי A∈Cn×n צמודה לעצמה (צל"ע). אזי A−(i+1)I הפיכה.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א
אופרטור הרמיטימטריצה הרמיטיתערכים עצמייםהוכח או הפרך
הוכיחו/הפריכו: תהי A∈Rn×n סימטרית, אזי C(A)=N(A)⊥.
אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א
מטריצה סימטריתמרחב עמודותגרעיןמשלים אורתוגונליהוכחההוכח או הפרך
תהי A∈Fn×n. אזי (A אוניטרית) אמ"מ ( לכל ע"ע שלה λ מתקיים ∣λ∣=1). הוכיחו/הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור אוניטריערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדית